<strong>Población y crecimiento económico. Una versión mejorada del modelo de Solow</strong><a id="back_fn6" class="xref_id"></a><a href="#fn6" class="xref_href"><sup> <strong>*</strong> </sup> </a>
Resumen

Una de las hipótesis tradicionales en teoría del crecimiento económico es que la fuerza de trabajo crece exponencialmente. Esta no es una hipótesis sostenible pues implica que la población del planeta puede ser arbitrariamente grande. En este artículo mejoramos el modelo de Solow al introducir una ley de crecimiento poblacional que verifique las propiedades más importantes observadas en el crecimiento de la población humana: i) la población es creciente y acotada y ii) la tasa de crecimiento de la población decrece a 0 cuan do el tiempo tiende al infinito. El resultado principal del trabajo es un teorema en el que se demuestra que el modelo es asintóticamente estable y que el capital percapita tiende a un valor constante.

Abstract

One of the usual hypothesis in standard economic growth theory is that labor force follows exponential growth. This is an unrealistic assumption because growing exponentially population can be arbitrarily large. In this paper we reformulate the neoclassical Solow model of economic growth by assuming that the law describing population growth verifies two stylized facts: i) population is strictly increasing and bounded and ii) the rate of growth of population is strictly decreasing to zero. The main result of the paper is the proof of the convergence of capital per worker to a constant value independently of the initial condition.

Palabras clave:
    • modelo de Solow;
    • crecimiento poblacional.
Clasificación JEL:
    • C62;
    • O41.

Introducción

Una de las hipótesis tradicionales en los modelos de crecimiento económico es que la fuerza de trabajo L crece a una tasa constante n > 0. En tiempo t continuo es natural definir esta tasa de crecimiento como:

lo que implica que la fuerza de trabajo L crece exponencialmente y para cada condición inicial L(0) = L0, la fuerza de trabajo al tiempo t es

Este sencillo modelo exponencial de crecimiento de la fuerza de trabajo representa fielmente el crecimiento poblacional sólo en el periodo inicial pues, creciendo exponencialmente, la fuerza de trabajo crecería al infinito cuando el tiempo tiende al infinito, lo que por supuesto no es sostenible. El modelo exponencial no se ajusta a las reducciones en el crecimiento de la población debidas a la competencia por los recursos ambientales como comida y territorio. Verhulst (1838) afirma que una población estable debe llegar a una saturación característica, usualmente llamado capacidad de carga del ambiente, que define una cota superior del crecimiento.1 Con una población mundial de más de 6 mil millones de personas, los expertos en crecimiento poblacional indican que hemos entrado en una zona en la que se observan claramente límites en la capacidad de carga del planeta (véase Day, 1996, y Brown, 1984). Esto nos define el primer hecho estilizado del crecimiento de la población: la capacidad de carga del planeta define una cota superior del tamaño de la población que no puede ser superada.

Otra regularidad empírica en el crecimiento poblacional es que las tasas de mortalidad y natalidad han disminuido en los últimos decenios. Las personas viven más años debido al mayor acceso a la inmunización, a la atención primaria de la salud y a los programas de erradicación de enfermedades. Muchos padres se están dando cuenta de que a medida que mejoran las condiciones de salud, es más probable que sobrevivan más de sus hijos, de manera que están decidiendo tener menos bebés. El mayor acceso a la planeación de la familia está ayudando a controlar el número de hijos y el tiempo que transcurre entre los nacimientos de sus hijos. Además, gracias al mayor acceso a la educación y al empleo, son más las mujeres que están formando sus familias a mayor edad y están teniendo menos hijos, pero más sanos. Debido a la desaceleración de las tasas de natalidad, las tasas de crecimiento de la población han comenzado a disminuir notoriamente en los últimos decenios y sus valores son cercanos a 0. Incluso se han observado regiones del planeta con tasas de crecimiento de la población negativas durante largos periodos.2 Esto nos define el segundo hecho estilizado del crecimiento de la población: la tasa de crecimiento de la población es decreciente y tiende a ser nula.

Estas observaciones determinan que, como afirma Maynard Smith (1974), una ley L(t) de crecimiento de la población que sea acorde con las observaciones empíricas debe verificar las siguientes propiedades: i) cuando la población es suficientemente pequeña en relación con la capacidad de carga del planeta L , entonces L crece alrededor de una tasa constan te n>0; ii) cuando la población es suficientemente grande en relación con la capacidad de carga del planeta L , los recursos económicos comienzan a ser escasos y esto afecta de manera negativa el crecimiento de la población, y iii) la tasa de crecimiento de la población decrece a 0.

En este artículo suponemos que la ley de crecimiento de la población verifica estas propiedades. Existen en la bibliografía muchos ejemplos de modelos de crecimiento poblacional que verifican estas propiedades básicas. El más conocido es la ley logística, introducida por Verhulst (1838) como una extensión del modelo exponencial (véase Schtickzelle, 1981). La ecuación logística también se conoce como ley de Verhulst-Pearl ya que fueron Pearl y Reed (1920) quienes la popularizaron usándola para describir los datos del crecimiento de la población de los Estados Unidos desde 1790 a 1920.3 La curva logística es del tipo sigmoide con el punto de inflexión en L/2, la mitad del valor de la capacidad de carga del planeta L, lo que genera una poco deseable propiedad de simetría a la hora de confrontar la curva con los datos observados. Para evitar esta restricción muchos autores han introducido modelos con parámetros adicionales que generalizan la ecuación logística.4 La curva de Richards (1959) aún es la más popular de estas generalizaciones5 y es una de las ecuaciones tradicionales para calibrar con datos observados ofrecidas en los paquetes de software estadístico. Como la curva logística es también una curva sigmoidal pero su punto de inflexión puede tomar cualquier valor entre 0 y L.

En la sección I modificamos el clásico modelo de crecimiento económico de Solow (1956) cambiando la función exponencial de crecimiento de la población por una ley que verifique las propiedades introducidas anteriormente. Este trabajo se entiende como una continuación de los ejercicios precedentes (Accinelli y Brida, 2006a y b; Brida, 2006; Brida y Limas Maldonado, 2005, y Mingari Scarpello y Ritelli, 2003), en los que se hace un análisis del modelo de Solow en el caso particular en que la tecnología de producción está representada por una función de producción del tipo Cobb-Douglas y la ley de crecimiento de la población es de tipo logístico (Accinelli y Brida, 2006b; Mingari Scarpello y Ritelli, 2003, y Brida, Mingari Scarpello y Ritelli, 2006) está representada por la ley de Von Bertalanffy (Brida y Limas Maldonado, 2005), o sigue la ecuación de Richards (Accinelli y Brida, 2006a). El trabajo de Donghan (1998) ha inspirado el actual. En ese artículo el autor obtiene resultados similares a los que presentaremos en las secciones siguientes y de allí hemos recogido algunas ideas para las demostraciones.

I. El modelo de crecimiento de Solow modificado

El modelo tiene dos elementos clave: i) la función de producción, esto es, como el capital K y el trabajo L se transforman en producto, y ii) como cambian con el tiempo el trabajo y el capital. En lo que sigue en este trabajo suponemos que el modelo verifica las siguientes propiedades:

  • i) La función de producción F(K, L) satisface las siguientes condiciones:

    • a) FK, λL) = λF (K, L); Ɐλ, K, L∈ℝ+ (rendimientos constantes a escala)

    • b) F(K, 0) = F(0, L) = 0; Ɐλ, K, L∈ℝ+

    • c) F K > 0 , F L > 0 ,   2 F K 2 < 0 , 2 F L 2 < 0

    • d) lim K 0 F K = lim L 0 F L = + ; lim K + F K = lim L + F L = 0 (condiciones de I nada)

  • ii) La tasa de crecimiento de acervo de capital iguala la inversión neta i=sF(K, L) menos la depreciación del capital δK:

  • iii) La fuerza de trabajo L(t) verifica las siguientes propiedades:

    • a) L(0)=L0>0; L ˙ ( t ) > 0 , Ɐt ≥ 0 y lim t + L t = L   ͚ (la población es estrictamente creciente y acotada)

    • b) Si n ( t ) = L ˙ ( t ) / L ( t ) entonces (t)<0, Ɐt≥0 y lim t + n t = 0 (la tasa de crecimiento de la población es estrictamente decreciente a 0)

Las propiedades i) y ii) son usuales en el modelo clásico de Solow. La última hipótesis es la única diferencia con el modelo original pues en éste el crecimiento de la población es exponencial.

Si k = K /L es el capital por trabajador y f(k) = F(K /L, 1) = F(k, 1) es la función de producción en forma intensiva tenemos que

De k = K /L se deduce

y entonces

De aquí se obtiene la ecuación fundamental del modelo de Solow modificado. Esta ley describe cómo varía con el tiempo el capital per capita:

Nótese que en el modelo original en el que la fuerza de trabajo crece exponencialmente es n(t) = n (constante) y la ley de variación de capital per capita está representada por la ecuación diferencial autónoma

En este caso sabemos que hay un equilibrio k ^ n   >   0 que es asintóticamente

estable y todas las soluciones de la ecuación diferencial convergen a la solución de equilibrio k ^ n cuando t⟶+∞.6 El valor k ^ n es la única solución positiva de la ecuación

Por lo contrario, el modelo modificado está representado por una ecuación diferencial no autónoma que tiene un único equilibrio en k=0. En la siguiente sección estudiamos las propiedades dinámicas de la ecuación (6).

II. Análisis cualitativo del modelo

Sea k ^ la única solución positiva de la ecuación

En esta sección vamos a demostrar que k ^ es un atractor global de la ecuación (6). En particular demostramos que Ɐk0 >0 existe una única solución k(t) al problema

que esta verifica que

y que la convergencia es monótona. Además demostramos teoremas que permiten analizar como varían las soluciones del problema (S) al cambiar la condición inicial k0 o al cambiar la curva que define la tasa de crecimiento de la población. Para comenzar, veamos el siguiente teorema de existencia y unicidad de trayectorias.

Teorema 1. Para cada k0>0, existe una única solución del problema (S) con dominio [0, +∞).

Demostración. Sean g(k, t) = sf ( k)-(δ+n(t))k y A=[k0/2,+∞) x [0,+∞). Tenemos que

y por tanto g satisface una condición de Lipchitz con constante L=sf´(k0/2) + δ + n(0) uniformemente en A. Entonces, por el teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias, siendo g continua y uniformemente lipchitziana en A, existe una única solución del problema (S) con dominio [0, +∞).

Teorema 2. Sean k1(t) y k2(t) soluciones de la ecuación diferencial

con condiciones iniciales k1(0) y k2(0) respectivamente. Si se verifica que k1(0) < k2(0), entonces k1(t)< k2(t) para todo t ∈ [0, +∞).

Demostración. Supongamos por el absurdo que existe un valor t ^ [ 0 ,   + ) tal que k 1 ( t ^ )   k 2 ( t ^ ) . Entonces por continuidad existe un valor t ~ [ 0 ,   t ^ ] tal que k 1 ( t ~ ) =   k 2 ( t ~ ) . Esto no puede ser pues existe una sola solución de la ecuación diferencial k ˙ = s f ( k ) - ( δ + n ( t ) ) k con la condición inicial k ( t ~ ) = k 1 ( t ~ ) .

Este resultado es análogo al que se obtiene en el modelo clásico de Solow: si dos economías tienen los mismos fundamentales, entonces la que tiene mayor capital per capita inicial tiene siempre mayor capital per capita. En lo que sigue haremos uso de un teorema de comparación para ecuaciones diferenciales cuya demostración se encuentra en textos avanzados del tema.

Teorema 3. Sean f(t) y g(t) soluciones de las ecuaciones diferenciales = F(x, t) y = G(x, t) respectivamente, definidas en el intervalo [a, b] con la misma condición inicial f(a) = g(a). Si las funciones F y G son lipchitzianas en [a, b] y se verifica que F(x, t) ≤ G(x,t) para todo t ∈ [a,b], entonces f(t)≤ g(t) para todo t ∈ [a, b].

Demostración. Véase, por ejemplo, King, Billingham y Otto (2003), p. 213. ■

Corolario 4. Sean k1(t) y k2(t) soluciones de las ecuaciones diferenciales

y

con la misma condición inicial

Si se verifica que n1(t) ≤ n2( t) para todo t ∈ [0,+∞), entonces k1(t) ≥ k2( t) para todo t ∈ [0, +∞).

Demostración. Se deduce directamente del teorema anterior. ■

Este resultado muestra que cuan to más grande es la tasa de crecimiento de la población de una economía menor es el capital per capita. Esto indica que una política que permita bajar la tasa de crecimiento de la población de una economía mejora el rédito.

Teorema 5. Sean k1(t), k2(t) y k3(t) soluciones de las ecuaciones diferenciales

y

respectivamente, y con la misma condición inicial

Si k ^ n y k ^ son los equilibrios de las ecuaciones (A) y (C), entonces se verifica que

  • k1(t) ≤ k2(t) ≤ k3( t) para todo t ∈ [0,+∞);

  • Si k0kn entonces k2(t) es estrictamente creciente en [0, + ∞);

  • Si k ^ n < k 0   k ^ entonces existe t ^ [ 0 ,   + ) tal que k2(t) es estrictamente decreciente en [ 0 ,   t ] ^ y es estrictamente creciente en [ t ^ ,     + ) ;

  • Si k ^ < k 0 entonces existe t ^ [ 0 ,   + ) tal que k2(t) es estrictamente decreciente en [0, +∞) o bien existe t ^ [ 0 ,   + ) tal que k2(t) es estrictamente decreciente en [ 0 , t ^ ] y es estrictamente creciente en [ t ^ ,   + ) .

Demostración. Antes de empezar la demostración introducimos la Gráfica 1 que puede ayudar al lector a seguir la prueba del teorema.

La función de producción y la determinación del equilibrio en el modelo de Solow clásico con tasas de crecimiento de la población n(0) y 0

  • a) Sabemos que 0 < n(t) ≤ n(0), Ɐt ∈ [0, +∞), y esto implique que sf(k) - (δ + n(0)) k< sf( k) - (δ + n( t)) ksf( k) - δk, Ɐt ∈ [0, +∞). Entonces por el teorema 3 es

Como k1 y k3 están acotadas, entonces (11) implica que k2(t) está acotada

  • b) Como k 0   k ^ n entonces la función H(k) = sf (k) - (δ + n(0))k verifica que (véase Gráfica 1): i) H(k) > 0 si k <   k ^ n , ii) H(k) =0 si k   = k ^ n , iii) H(k) < 0 si k > k ^ n . Esto implica que si k 0 = k ^ n entonces

Luego por continuidad de k 2 ˙ ( t ) ,   Ǝ t 2   > 0 tal que k 2 ˙ t > 0 para todo t ∈ (0, t0). Si k 0 = k ^ n , entonces

De todos modos, como la derivada segunda de k2(t) verifica que:

podemos calcular, en particular, el signo de su valor en 0:

y esto implica que k 2 ˙ ( t ) es creciente en t=0. Siendo k 2 ˙ ( 0 ) = 0 , podemos deducir que Ǝt0>0 tal que k 2 ˙ t > 0 , para todo t∈(0, t0). Po tanto, hemos demostrado que:

Supongamos ahora por el absurdo que Ǝt1>t0 tal k 2 ˙ ( t 1 ) < 0 . Sea t2 > t0 tal que

Por continuidad este valor verifica que k 2 ˙ t 2 = 0 . Por el cáculo hecho en (D) para a derivada segunda k ¨ 2 ( t ) tenemos que:

y esto que implica que k 2 ˙ t es creciente en t=t2. Por tanto Ǝɛ>0 tal que k 2 ˙ ( t ) > 0 para todo t∈(t2, t2 ,+ɛ), y esto contradice la definición de t2. Luego k 2 ˙ ( t ) > 0 ,Ɐt>0, y entonces k2(t) es estrictamente creciente en [0, +∞).

  • c) Si k ^ n < k 0   k ^ como k1(t) es estrictamente decreciente en [0, +∞) tenemos que

lo que implica que existe t0∈ [0, +∞) tal que k2(t) es estrictamente decreciente en [0, t0]. Supongamos por el absurdo que k 2 ˙ ( t ) 0 , Ɐt∈ [0, +∞). Entonces, siendo k2(t) decreciente en [0, +∞) y acotada, existe

y además es

Sabemos que

y por tanto

Entonces

y esto implica que k - k ^ (véase la Gráfica 1). Esto contradice la desigualdad (*). La contradicción parte de suponer que k ˙ 2 t 0 , t [ 0 , + ) y por tanto existe t 1 ( t 0 , + ) tal que k ˙ 2 t 1 > 0 . Sea t ^ 0 , + tal que

Para este valor se verifica que

Sólo nos queda por demostrar que k2(t) es estrictamente creciente en [ t ^ + ) . Por el cálculo hecho en (D) tenemos que

Entonces k 2 ˙ ( t ) es creciente t = t ^ y por tanto Ǝɛ>0 tal que k 2 ˙ t > 0 para todo t ( t ^ , t ^ + ɛ ) Supongamos por el absurdo que Ǝ t 1 > t ^ tal que k2(t1)<0. Sea t 2 > t ^ tal que

Por continuidad este valor verifica que k 2 ˙ ( t 2 ) = 0.Por el cálculo hecho en (D) para la derivada segunda k ¨ 2 ( t ) tenemos que:

y esto implica que k 2 ˙ ( t ) es creciente en t = t2. Por tanto Ǝξ > 0 tal que k 2 ˙ t > 0 para todo t ∈ (t2, t2+ ξ); esto contradice la definición de t2.. Luego, k 2 ˙ t > 0 ,   t > 0 y entonces k2(t) es estrictamente en [0, +∞).

  • d) La de mostración es análoga a la de la parte anterior. ■

Observación 6. En el teorema anterior, las ecuaciones (A) y (C) representan el modelo de Solow clásico cuando la tasa de crecimiento constante es n(0) y 0 respectivamente. En el numeral i) del teorema precedente hemos probado que una economía con tasa de crecimiento de la población decreciente a 0 mejora el rédito de una economía con los mismos fundamentales pero tasa de crecimiento de la población constante positiva. En los numerales ii)-iv) se demostró que si una economía tiene tasa decrecimiento de la población decreciente a 0, entonces el capital per capita varía en forma monótona en un intervalo del tipo [t0, + ∞). La diferencia con el modelo de Solow clásico es que para algunos valores de la condición inicial k0, la trayectoria es decreciente en un periodo inicial hasta que alcanza un valor mínimo, a partir del cual es estrictamente creciente. La monotonía junto con la acotación implican que las trayectorias del modelo mejorado convergen en forma monótona a un valor de largo periodo. El siguiente teorema se refiere a este valor de largo periodo.

Teorema 7. Si k(t) es la solución del problema (S), entonces:

Demostración. Por el teorema 5 sabemos que k(t) es una función monótona y acotada y por tanto que existe lim t k t = k > 0 . Tenemos que probar que k - = k ^ y esto es equivalente a probar que sf( k - )-δ k - =0, ya que la ecuación sf(k)-δk=0 tiene una única solución positiva. Haremos la demostración del teorema para el caso en que k(t) es una función monótona decreciente en un intervalo del tipo [t0, +∞). La demostración es totalmente análoga para el caso en que k(t) es una función monótona creciente en un intervalo del tipo [t0, +∞) Supongamos entonces que k(t) es una función monótona decreciente en un intervalo del tipo [t0, +∞). Entonces:

Sólo nos queda por demostrar que s f k - - δ k - no es estrictamente negativo. Supongamos por el absurdo que fuera s f k - - δ k - = A < 0 . Entonces

Pero esto contradice el hecho de que k(t) es una función acotada. ■

Observación 8. El teorema anterior implica que k ^ es un atractor global de la ecuación diferencial (6): todas las trayectorias de (6) tienden asintóticamente a k ^ .

Observación 9. Habíamos observado antes que de dos economías con los mismos fundamentales, aquella con mayor capital inicial per capita tiene mayor capital per capita siempre. El hecho de que k ^ sea un atractor global implica que si los fundamentales de dos economías son idénticos, entonces el capital per capita inicial no afecta el capi tal per capita de largo periodo.

Observación 10. Como el nivel de capital per capita de largo periodo k ^ no depende de la ley de crecimiento de la población, dos economías con diferentes tasas de crecimiento de la población monótonas decrecientes a 0 que tengan las mismas tecnología de producción, tasa de crecimiento del acervo de capital y tasa de depreciación del capital convergen al mismo nivel de capital per capita. Por tanto, en el modelo de Solow modificado la convergencia es independiente de la tasa de crecimiento de la población y el valor de largo periodo es el estado estacionario positivo del modelo de Solow clásico con tasa de crecimiento nula, independientemente de cuál sea la ley de crecimiento de la población con tasas de crecimiento decrecientes a 0.

Observación 11. Varios autores (Cohen, 1995a y b; Kremer, 1993; Arrow et al, 1995; Meyer et al, 1999) han demostrado que el cambio tecnológico afecta el crecimiento de la población mediante la capacidad de carga del planeta: cuando el desarrollo tecnológico crece, la capacidad de carga L también crece. Esto es, si denotamos con T al nivel de tecnología, entonces la capacidad de carga L(T) es una función creciente de la variable T. Un aumento de la capacidad de carga L(T) no influye en la dinámica del modelo de Solow clásico, pues ésta no interviene en su formulación, pero si produce un efecto en el modelo mejorado. En realidad, si aumenta el nivel tecnológico T, aumenta la población de largo periodo del modelo (que coincide con la capacidad de carga L(T )) y, como el capital per capita se mantienen constantes, entonces aumenta el capital agregado de largo periodo.

Teorema 12. La solución del problema (S) es asintóticamente estable.

Demostración. Para demostrar la estabilidad (Lyapunov) de la solución k0t) del problema (S) tenemos que probar que: Ɐɛ>0, Ǝδ>0 tal que si k1(t) es una solución de la ecuación diferencial (6) con condición inicial k1 = k1(0) que verifica |k1-k0|<δ, entonces es |k1t)-k0t)|< ɛ, Ɐt∈[0, + ∞). Dado ɛ> 0, sean φ1(t) y φ2(t) las soluciones de la ecuación diferencial (6) con condiciones iniciales φ1(0)=3k0/2 y φ2(0)=k0/2 respectivamente. Por el teorema 5 sabemos que

y por tanto Ǝt0 > 0 tal que |φ1(t)-k0(t)| < ɛ y |φ2(t)-k0 (t)|<ɛ para todo t ∈ [t0, + ∞). Entonces por el teorema 2, Ɐk1 ∈ [k0 /2, 3k0 /2], si k1t) es la solución de la ecuación diferencial (6) con condición inicial k1 sabemos que

Entonces, Ɐk1 ∈ [k0 /2, 3k0 /2] la solución k1(t) verifica que

Por el teorema de dependencia continua de las condiciones iniciales (King, 2003, p. 211), Ɐɛ>0, Ǝδ>0 (que podemos elegir de modo tal que δ<k0 /2) tal que si k1(t) es la solución de la ecuación diferencial (6) con condición inicial k1 = k0(0) que verifica |k1-k0|< δ, entonces es

Por tanto el valor δ> 0 que acabamos de seleccionar verifica que si k1(t) es la solución de la ecuación diferencial (6) con condición inicial k1=k1(0) tal que |k1-k0|<δ, entonces vale que |k1(t)-k0(t)| < ɛ, Ɐt ∈ [0, + ∞). Esto prueba que la solución del problema (S) es (Lyapunov) estable. Por el teorema anterior sabemos que para cualquier par de soluciones k1(t) y k2(t) de la ecuación diferencial (6) es

y por tanto tenemos que

Este límite junto con la estabilidad probada previamente implican que la solución del problema (S) es asintóticamente estable.■

Observación 13. La estabilidad asintótica de las soluciones implica que dos soluciones cualesquiera, además de converger, si tienen condiciones iniciales cercanas entonces se mantienen siempre cerca.

Conclusiones

En la teoría del crecimiento económico usualmente se supone que la población crece siguiendo una ley exponencial. Esto es claramente irreal pues una población que crece de modo exponencial rápidamente obtiene un tamaño muy grande, mucho más de lo que es la capa cidad de carga del planeta. Es por este motivo que en este trabajo hemos sugerido sustituir en el modelo de Solow la ecuación de crecimiento exponencial de la población por una ley que verifique dos hipótesis básicas: i) la población es estrictamente creciente y acotada y ii) la tasa de crecimien to de la población es estrictamente decreciente a 0. Con estas hipótesis, y manteniendo invariados los demás supuestos del modelo, obtenemos un modelo de Solow mejorado. Del análisis de este modelo se deduce que hay un valor constante k ^ de largo periodo al que tiende el capital por trabajador.

En la determinación de este valor de largo periodo (y contrariamente a lo que su cede en el modelo de Solow clásico) no interviene la tasa de crecimiento de la población n(t). Además el valor k ^ es mayor que el valor de equilibrio k ^ n del modelo clásico. De aquí se deduce que, en el largo periodo el desempeño económico mejora si la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo en vez de ser una constan te positiva decrece a 0, lo que puede ser tomado como una motivación para tener una política de crecimiento poblacional eficiente.

En este trabajo demostramos que el modelo propuesto es asintóticamente estable de manera general y que el capital por trabajador (independientemente del capital per capita inicial) converge al valor de largo periodo k ^ . Al ser el valor de largo periodo k ^ la única solución positiva de la ecuación s f k ^ = δ k ^ , depende sólo de la función de producción f (), de la propensión al ahorro s y de la tasa de depreciación del capi tal δ. De aquí se deduce que, con la hipótesis de crecimiento de la población como en este trabajo, si dos países tienen las mismas tecnologías de producción f (), propensión al ahorro s y tasa de depreciación del capital δ entonces convergen al mismo valor de largo periodo de capital, consumo y producto per capita. Finalmente, hemos también mostrado que si el cambio tecnológico afecta el crecimiento de la población mediante la capacidad de carga del planeta, entonces un aumento del nivel tecnológico T, aumentando la población y manteniendo el capital per capita constante, produce un aumento del capital agregado de largo periodo.

Notas al pie:
  • *

    El autor desea agradecer la ayuda financiera para la investigación otorgada por la Universidad Libre de Bolzano (proyecto WW500S, “Dynamical Regimes in Economics: Modeling and Statistical Tools”) y por el Conacyt México (proyecto número 42609; título: Modelado matemático del cambio en economía).

  • 1

    La expresión inglesa carrying capacity, que en este trabajo traducimos como “capacidad de carga” se utilizó por vez primera cuando se intentó determinar la población máxima de una especie dada que puede so portar su entorno sin límite de tiempo. La capacidad de carga de la Tierra pue de ser de finida como la carga máxima que la humanidad puede imponer de modo sostenible al medio ambiente antes de que éste sea incapaz de sostener y alimentar la actividad humana. En las referencias bibliográficas el lector puede encontrar información pormenorizada acerca del concepto de capacidad de carga, de algunos métodos para calcular la capacidad de carga de la Tierra y aplicaciones en la teoría del crecimiento económico.

  • 2

    Entre 2000 y 2005 la población mundial creció a razón del 1.31% por año, cifra considerablemente más baja que el 1.71% registrado en los dos últimos decenios. Las proyecciones de la variante media en materia de fecundidad efectuadas por las Naciones Unidas indican que la tasa de crecimiento de la población seguirá decreciendo hasta el 0.3% pronosticado para el quinquenio 2045-2050 (World Population Prospects: The 2002 Revisión, vol. I, II y III; publicación de las Naciones Unidas, núm. de venta E.03.XIII.6, 7 y 8).

  • 6

    En Solow (1956) y Simonivits (2000) se encuentran las demostraciones de las propiedades básicas del modelo clásico de Solow. En particular, se encuentra en estas obras el siguiente resultado que usaremos más adelante en este trabajo: si k(t) es una so lución de (7) con condición inicial k(0)>kn (k(0)<kn) entonces k(t) es estrictamente monótona decreciente (creciente).

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Historial:
  • » Publición impresa: 2008

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Revista El Trimestre Económico, volumen LXXXVI (4), número 344, octubre-diciembre de 2019. Es una publicación trimestral que aparece en enero, abril, julio y octubre, editada por el Fondo de Cultura Económica, con domicilio en  Carretera Picacho Ajusco número 227, Col. Bosques del Pedregal, Delegación Tlalpan, C.P.  14738, Ciudad de México, teléfono (55) 5227 4672, ext. 1850, http://www.eltrimestreeconomico.com.mx/. Reserva de derechos al uso exclusivo  Número 04-2016-052612421000-203, ISSN 2448-718X. Ambos otorgados por el Instituto del Derecho de Autor. Consejo Directivo de El Trimestre Económico: Orlando Delgado Selley, Saúl Escobar Toledo y José Valenzuela Feijóo. Responsable de la última actualización de este número: Nuria Pliego Vinageras. Fecha de la última actualización: 4 de octubre de 2019. La responsabilidad por lo expresado en los artículos, notas y reseñas es  estrictamente de sus autores; en consecuencia El Trimestre Económico, el Fondo de Cultura Económica y las instituciones a las que estén asociados los autores son ajenos a ella. Todos los derechos reservados. Se autoriza la reproducción total o parcial de los artículos  aquí presentados, siempre y cuando no se mutile y se incluya en todos los casos, junto con la ficha completa, el nombre del autor al que se cite y la  dirección electrónica de la revista; de otra forma, requerirá la autorización por escrito de El Trimestre Económico.