Valuación actuarial de bonos catastróficos para desastres naturales en México
Resumen

México es un país donde ocurren distintos fenómenos naturales, como inundaciones, huracanes y terremotos, que pueden convertirse en desastres que requieren grandes sumas de dinero para mitigar su efecto económico en la población afectada. Generalmente, estas grandes sumas de dinero suelen ser aportadas por el gobierno federal y/o local. El objetivo del presente trabajo es el desarrollo de una metodología actuarial para el cálculo de bonos catastróficos para desastres naturales en México, de manera que, en caso de que el evento catastrófico ocurra durante la vigencia del bono, el gobierno cuente con fondos adicionales y, en caso de que no ocurra, los inversionistas que hayan comprado el bono obtengan tasas de interés superiores a la tasa libre de riesgo del mercado. Los bonos tienen la particularidad, a diferencia de bonos similares emitidos en otros países, que en caso de que ocurra el evento catastrófico el inversionista no pierde el total de su inversión sino sólo una parte o se le difiere su capital total o parte de éste a una fecha posterior a la de la finalización del contrato del bono catastrófico, esto con el fin de hacerlos más atractivos para el inversionista.

Abstract

Floods, hurricanes and earthquakes occur every year in Mexico. These natural phenomena can be considered as catastrophes if they produce large economic damages in the affected areas. In these cases it is required a huge amount of money to provide relief to the catastrophe victims and areas. Usually, in Mexico it is the local and/or federal governments that are responsible to provide these funds. The main objective of this article is to develop an actuarial methodology for the pricing of CAT bonds in Mexico in order to allow the government to have additional funds to provide relief to the affected victims and areas in case that the catastrophic event occurs during the CAT bond period. If the catastrophic event does not occur during the CAT bond period then the CAT bondholders will get a higher interest rate than the (risk-free) reference interest rate in the market. To make the CAT bond more attractive to investors, the CAT bonds considered in this work have the additional characteristic that the CAT bondholders do not necessarily lose all their initial investment if the catastrophic event occurs. Instead, a percentage of the CAT bond principal is lost or their initial investment is paid in a date after the end of the CAT bond period.

Palabras clave:
    • evento catastrófico;
    • bonos emitidos por el gobierno;
    • valuación actuarial;
    • procesos de Poisson sin memoria y con memoria;
    • fuerza de interés.

Introducción

Una gran cantidad de fenómenos naturales ocurren cada año en México, entre los que se encuentran terremotos, huracanes, inundaciones, sequías, etc. (Meli et al, 2001; Medina Martínez, 1997; Lugo Hubp, 2002; García Acosta y Suárez Reynoso, 1996; García Acosta, 2001, y Lugo Hubp e Inbar, 2002). Algunos de estos fenómenos naturales son clasificados como desastres (catástrofes) debido al efecto económico que producen en las poblaciones afectadas. Por ejemplo, según el Centro Nacional para Prevención de Desastres (Cenapred) un terremoto se clasifica como desastre si causa cien o más pérdidas de vidas humanas o pérdidas económicas significativas a nivel nacional (Gutiérrez Martínez et al, 2001). A nivel mundial, de 1970 a 2001, según SwissRe (2002), los cinco desastres naturales más caros en pérdidas para el sector asegurador fueron (en dólares de 2001): el huracán Andrew que en los Estados Unidos y Bahamas ocasionó pérdidas en daños asegurados por 20 185 millones de dólares en agosto de 1992, el terremoto de Northridge que en los Estados Unidos ocasionó pérdidas en daños asegurados por 16 720 millones de dólares el 17 de enero de 1994, el tifón Mireille que en Japón ocasionó pérdidas en daños asegurados por 7 338 millones de dólares en septiembre de 1991, la tempestad Daria que en Francia, el Reino Unido y otros países ocasionó pérdidas en daños asegurados por 6 221 millones de dólares en enero de 1990 y la tempestad Lothar que en la Europa Occidental ocasionó pérdidas en daños asegurados por 6 164 millones de dólares en diciembre de 1999.

En cuanto a pérdidas de vidas humanas las cinco catástrofes más grandes de 1970 a 2001 fueron: las tempestades e inundaciones en Bangladesh con 300 mil víctimas en noviembre de 1970, el terremoto de Tangshan (8.2 en la escala de Richter) en China con 250 mil víctimas el 28 de julio de 1976, el tifón tropical Gorky en Bangladesh con 138 mil víctimas en abril de 1991, el terremoto en Perú (7.7 en la escala de Richter) con 60 mil víctimas el 31 de mayo de 1970 y el terremoto de Gilan en Irán con 50 mil víctimas el 21 de junio de 1990. El terremoto del 19 de septiembre de 1985 en México (8.1 en la escala de Richter) ocupa el decimocuarto lugar en número de víctimas con 15 mil (SwissRe, 2002).

En México, según Bitrán Bitrán (2001), de 1980 a 1999, los principales desastres en cuanto al número de damnificados fueron: i) tipo meteorológico: el huracán Paul en 1982 con 257 mil damnificados, las inundaciones de 1982 con 285 511 damnificados y el huracán Paulina en 1997 con 202 mil damnificados; ii) tipo geológico: erupción del volcán Chichonal en 1982 con 150 mil damnificados y el terremoto del 19 de septiembre de 1985 con 150 mil damnificados.

La necesidad de contar con instrumentos financieros que le permitan al gobierno federal y/o local obtener fondos adicionales para afrontar dichos desastres, mediante la transferencia del riesgo a inversionistas, es una necesidad urgente en México.

Un bono catastrófico es equivalente a un bono ordinario pero con la peculiaridad de que el pago de los cupones o hasta el principal al inversionista es contingente a la ocurrencia del hecho catastrófico. En caso de que el evento catastrófico ocurra, el emisor del bono cuenta con los fondos derivados de no pagar a los inversionistas alguna parte o hasta el total de su inversión. Generalmente, la ocurrencia o no ocurrencia del evento catastrófico se especifica mediante cierta medida objetiva o índice relacionado con la magnitud del evento que rebase cierto umbral. Así, por ejemplo, un bono catastrófico para inundaciones provocadas por tormentas puede estar referido a la cantidad de agua descargada por la tormenta durante cierto tiempo en cierta región o un bono catastrófico para terremotos a la magnitud en escala Richter en el epicentro. Si el bono catastrófico es emitido por alguna aseguradora la ocurrencia del evento catastrófico puede estar referida a que el monto de las pérdidas entre los asegurados de la compañía rebase determinado umbral. La utilización de estas medidas objetivas o índices es necesaria para no dejar duda alguna respecto a la ocurrencia o no del evento y, por tanto, de los beneficios que deben recibir los inversionistas con el bono catastrófico. Por supuesto, estas medidas objetivas o índices deben reflejar o estar muy correlacionadas con la magnitud de la pérdida económica que ocasionaría el evento.

El primer bono catastrófico fue emitido, según Cox y Pedersen (2000), en 1984 por la compañía Svensk Exportkredit que lo vendió a compañías de seguros que aceptaban una tasa de interés menor en intercambio de redimir sus bonos en valor nominal si un terremoto sacudía Japón. En los Estados Unidos, los primeros bonos catastróficos fueron conocidos como bonos "Act of God" y fueron utilizados para cubrir el evento de huracanes severos en Florida y emitidos por la compañía de seguros USAA. La ocurrencia del evento catastrófico se definió como un huracán que ocasionara pérdidas superiores a mil millones de dólares para USAA. Dichos bonos pagaban una tasa superior en tres puntos a la tasa LIBOR mensual en caso de no ocurrir el evento catastrófico. El primer bono catastrófico emitido por un gobierno fue el California Earthquake Authority (CEA) Bond en 1996 (Nowak, 1999).

Actualmente, en los mercados de bonos catastróficos de diferentes países se emiten miles de millones de bonos para diferentes eventos, como terremotos, inundaciones y huracanes. Entre los bonos catastróficos más populares se encuentran el USAA Hurricane Bond, el California Earthquake Authority (CEA) Bond y el Winterthur Windstorm Bond. Desafortunadamente, en México no existe un mercado formal para estos instrumentos. En caso de ocurrir un desastre natural el gobierno federal hace uso del Fondo de Desastres Naturales (Fonden), cuyas reglas de operación fueron publicadas en el Diario Oficial de la Federación del 23 de mayo de 2003.

Los bonos catastróficos presentan las siguientes ventajas sobre seguros o reaseguros tradicionales que el gobierno pudiera adquirir (Croson y Kunreuther, 1999): i) en el bono catastrófico no existe riesgo de crédito, es decir, la posibilidad de que el asegurador o reasegurador no pague al gobierno no existe ya que el dinero para el pago de las pérdidas fue entregado por el inversionista al comprar el bono; ii) en caso de ocurrir el evento catastrófico el gobierno cuenta inmediatemente con fondos para hacer frente al desastre y no tiene que esperar el pago por parte del asegurador y/o reasegurador; iii) el costo para el gobierno del bono puede ser inferior a la prima del seguro si existiera alguna compañía de seguros dispuesta a asegurar los daños ocasionados por el evento catastrófico; iv) el bono catastrófico no está correlacionado con el mercado financiero por lo que es útil en la diversificación de carteras de inversión, v) la emisión de estos bonos puede evitar grandes desajustes en el presupuesto del gobierno debido a la ocurrencia de eventos catastróficos que pudieran hacer necesario un incremento en los impuestos o un impuesto especial para financiar el gasto del gobierno en reparar los daños ocasionados por el evento.

En el artículo de Jaffee y Russell (1997) se presentan las ventajas de que sea el gobierno el proveedor de seguros para eventos catastróficos al señalar los problemas que las aseguradoras privadas tienen para ofrecer este tipo de seguros en los Estados Unidos. También, Lewis y Murdock (1996) presentan un esquema de seguro para eventos catastróficos en el que el gobierno federal de los Estados Unidos participa con la emisión de opciones para exceso de pérdida en estos eventos en el mercado del reaseguro.

En el presente artículo se calcula el precio de un bono catastrófico desde un enfoque actuarial. Existen otros enfoques para el cálculo de un bono catastrófico y otros tipos de instrumentos que ofrecen protección contra eventos catastróficos como opciones u otros derivados financieros. Como señala Aase (2001), entre los enfoques que se utilizan para el cálculo del precio de estos instrumentos se encuentran el uso del principio de no arbitraje (Cummins y Geman, 1994 y 1995), la utilización de la ecuación de Feynman-Kac (Chang, Chang y Yu, 1996) y la bursatilización de contratos de reaseguro (Kielholz y Durres, 1997, y Smith, Canelo y Di Dio, 1997). Otro enfoque empleado para el cálculo de seguros contra estos eventos es el uso de la teoría de opciones reales (Boulatov y Jaffee, 2003). Cox y Pedersen (2000) utilizan un enfoque de mercados incompletos para calcular el precio de un bono catastrófico, ya que consideran que no existe ninguna cartera de acciones que sea capaz de reiterar el bono catastrófico; además, utilizan un procedimiento en dos etapas para el cálculo del bono: i) seleccionan un modelo para la estructura de tasas de interés y ii) estiman la probabilidad de ocurrencia del evento catastrófico. Cox y Pedersen (2000) consideran la independencia entre los hechos del mercado financiero que determinan la estructura de tasas de interés y el hecho que define la ocurrencia del evento catastrófico. Por tanto, las medidas de probabilidad asignadas a la estructura de tasas de interés y a la ocurrencia del evento catastrófico se consideran independientes y el precio del bono catastrófico es el valor esperado, utilizando estas dos medidas de probabilidad, de los beneficios que otorga el bono.

A diferencia de Cox y Pedersen (2000), en este trabajo se considera que al ser el gobierno el emisor del bono catastrófico no existe necesidad de asignar una medida de probabilidad a la estructura de tasas de interés ya que la tasa de referencia que utilizamos es la que proviene de la utilizada por el gobierno para emitir deuda pública (Certificados de la Tesorería, Cetes) y que puede fijarla al momento de vender el bono para toda la vigencia de éste. Otra diferencia entre el presente trabajo y el de Cox y Pedersen (2000) es que únicamente se consideran bonos que no ofrecen el pago de cupones al final de ciertos periodos. Aase (2001) deriva el precio de futuros y opciones contra eventos catastróficos a partir de modelar el proceso del cociente de pérdidas ocasionadas por eventos catastróficos entre el total de primas cobradas como un proceso de saltos en el que el tamaño del salto está dado por el monto de las reclamaciones a las compañías aseguradoras ocasionadas por el evento catastrófico en puntos en el tiempo determinados por la ocurrencia de ese evento y considerando un mercado de futuros utilizando funciones de utilidad con agentes con aversión al riesgo. El monto de las reclamaciones ocasionadas por el evento catastrófico se modela como una cadena de Markov. A diferencia de Aase (2001), en este artículo no se modelan las pérdidas ocasionadas por el evento catastrófico como un proceso estocástico, ya que el monto de los fondos con los que contará el gobierno para hacer frente al evento dependerá de la cantidad y precio de los bonos catastróficos que el gobierno sea capaz de vender. En este sentido, en el presente trabajo se determinan cotas al disponible que tendrá el gobierno en caso de ocurrir el evento. Tampoco se utilizan conceptos relacionados con la teoría de utilidad ya que se considera que la aversión o no aversión de un agente al riesgo, como señalan Cox y Pedersen (2000), p. 77, quedará implícita en el precio del bono catastrófico.

El presente trabajo se divide en tres secciones. En la sección I se desarrolla el cálculo actuarial del precio de emisión del bono catastrófico en el caso general de un proceso de Poisson con memoria, en el que la tasa de ocurrencia del evento catastrófico puede variar en el tiempo. En la sección II se incluye un resumen de los precios de emisión y restricciones de los diferentes tipos de bonos considerados en este trabajo además de algunas consideraciones adicionales respecto al cálculo del bono catastrófico en el caso especial de un proceso de Poisson sin memoria (homogéneo), es decir, en el que la tasa de ocurrencia del evento es constante en el tiempo (Cox y Miller, 1965). La aplicación de la metodología propuesta se ejemplifica en la sección III al caso especial de un proceso de Poisson sin memoria. Por último, se presenta las conclusiones del presente trabajo.

I. Cálculo actuarial del bono catastrófico

Desde un punto de vista actuarial el precio de un bono catastrófico puede definirse como la cantidad de dinero que el inversionista debería aportar por participar en una apuesta. Dicha apuesta se basa en dos posibles resultados: i) el evento catastrófico ocurre durante la vigencia del bono o ii) no ocurre durante la vigencia del bono.

En caso de que el evento catastrófico no ocurra el inversionista se hace acreedor a ciertos beneficios, los cuales deben ser superiores a los que otorga un bono ordinario con las mismas condiciones y calculado con la tasa de referencia libre de riesgo del mercado. En caso de que el evento ocurra, el emisor del bono tendrá el derecho de adjudicarse cierta parte o el total de la inversión especificada en el contrato del bono catastrófico.

Por otra parte, si ocurre el evento catastrófico, en este trabajo se propone diferir el pago de beneficios (inferiores a los beneficios pagados en caso de que el evento no ocurra) a la fecha de la finalización del contrato del bono catastrófico o a una fecha posterior a la de la finalización del contrato, de manera que el emisor del bono pueda dividir el total del dinero recaudado por la venta de los bonos en dos fondos: i) uno destinado a crear la reserva necesaria para hacer frente al pago de los beneficios futuros para los inversionistas y ii) otro destinado para mitigar el efecto económico del evento catastrófico inmediatamente después de la ocurrencia de éste.

De esta manera la apuesta resulta atractiva tanto al inversionista como al emisor, ya que el inversionista puede obtener, con una alta probabilidad, puesto que los eventos catastróficos ocurren con una frecuencia muy baja, rendimientos superiores a los ofrecidos por la tasa libre de riesgo, mientras que el emisor obtiene un seguro contra el evento catastrófico a un precio que puede ser inferior al que le ofrecería una compañía de seguros, suponiendo que existiera una dispuesta a ofrecerle este seguro.

Para obtener el precio de esta apuesta se emplea un enfoque actuarial en el que se supone que en promedio el valor presente de los beneficios y pérdidas del emisor del bono deben ser iguales, es decir, en el largo plazo, al vender el bono catastrófico una gran cantidad de periodos, los beneficios acumulados y pérdidas acumuladas del emisor deben ser iguales, en promedio. Para el cálculo del bono se definen las siguientes variables y notación:

t = variable que indica el tiempo transcurrido en años desde el inicio de la vigencia del bono catastrófico.

Tu = tiempo en años que ha transcurrido desde la última ocurrencia del evento catastrófico de interés, al momento de la emisión del bono (t = 0).

R = duración del contrato del bono en años (vigencia del bono catastrófico).

T = tiempo aleatorio de espera para la ocurrencia del evento catastrófico. Este tiempo está medido en años a partir de la fecha de emisión (venta) del bono. En caso de que el evento no ocurra dentro del periodo establecido en el contrato del bono, T ≥ R.

S = diferimiento en años para el otorgamiento de beneficios a los inversionistas en caso de que el evento ocurra dentro del periodo establecido en el contrato del bono, T ≤ R.

V0 = variable aleatoria que representa el valor presente, al inicio del contrato del bono (t = 0), del beneficio del emisor en caso de que el evento ocurra durante la vigencia del bono (T ≤ R) y la cantidad adicional, sobre la tasa libre de riesgo, que el emisor del bono debe aportar para el pago del beneficio al inversionista en caso de que el evento no ocurra durante la vigencia del bono.

δE0 = tasa instantánea de interés (fuerza de interés) anual prometida al inversionista, en caso de que el evento ocurra, desde la compra del bono hasta el momento de la ocurrencia del evento (t ∈ [0, T]). Es decir, si iE0 representa la tasa de interés efectiva anual entonces, δE0 = ln(1 + iE0).

δE1 = tasa instantánea de interés (fuerza de interés) anual prometida al inversionista, en caso de que el evento ocurra, desde el momento en que se presenta hasta el momento en el cual se realiza el pago de los beneficios al inversionista (t ∈ [T, T + S] o t ∈ [T, R]). Es decir, si iE1 representa la tasa de interés efectiva anual entonces, δE1 = ln(1 + iE1).

δNE = tasa instantánea de interés (fuerza de interés) anual prometida al inversionista en caso de que el evento no ocurra. Es decir, si iNE representa la tasa de interés efectiva anual entonces, δNE = ln(1 + iNE).

δCetes = tasa instantánea de interés (fuerza de interés) anual de Certificados de la Tesorería (Cetes), la cual se considera como la tasa libre de riesgo del mercado. Es decir, si iCetes representa la tasa de interés efectiva anual entonces, δCetes = ln(1 + iCetes).

DT = cantidad disponible para el emisor (gobierno) al momento de la ocurrencia del evento (T), si éste ocurre durante la vigencia del bono (T ≤ R). Esta cantidad aleatoria (función de la variable aleatoria T) es el beneficio del emisor.

BT = beneficio del inversionista al momento de la ocurrencia del evento (T) en caso de que ocurra durante la vigencia del bono (T ≤ R).

BNE = beneficio del inversionista en caso de que el evento no ocurra durante la vigencia del bono (T > R).

P0 = precio de emisión del bono catastrófico.

N0 = valor nominal del bono.

γE = porción del valor nominal del bono, N0, que el emisor retiene en caso de que el evento ocurra durante la vigencia del bono (0 γE ≤ 1).

A continuación se desarrolla el cálculo actuarial del precio de emisión del bono catastrófico en las siguientes dos situaciones: i) periodo de diferimiento con duración fija (S): en caso de ocurrir el evento los beneficios al inversionista se pagan S años después del momento de la ocurrencia del evento (en T + S), y ii) duración del periodo de diferimiento aleatorio: en caso de ocurrir el evento los beneficios al inversionista se pagan al final de la vigencia del bono (en R). En ambos casos, al no ocurrir el evento catastrófico los beneficios al inversionista se pagan al final de la vigencia del bono.

1. Periodo de diferimiento con duración fija (S)

En este caso, la variable aleatoria V0 está definida de la siguiente forma:

V 0 = D T e δ Cetes T si T R P 0 B NE e δ Cetes R si T > R

Nótese que en la definición de V0 el valor presente de cualquier cantidad se obtiene utilizando δCetes, la tasa de interés instantánea anual de Cetes al momento de la emisión del bono catastrófico. El disponible para el emisor y los beneficios al inversionista se definen como

D T = P 0 e δ Cetes T B T e δ Cetes S = P 0 e δ Cetes T 1 γ E N 0 e δ E 0 T e δ E 1 S e −δ Cetes S , es decir, el emisor (gobierno) al momento de la ocurrencia del evento catastrófico obtiene un beneficio que es igual a la diferencia entre el monto acumulado del precio de emisión del bono ( P 0 e δ Cetes T ) menos el valor presente al momento de la ocurrencia del evento del beneficio prometido al inversionista en caso de que aquel ocurra, B T e −δ Cetes S .

B T = 1 γ E N 0 e δ E 0 T e δ E 1 S , es decir, en caso de ocurrir el evento durante la vigencia del bono catastrófico (TR) al inversionista se le promete que el beneficio que recibirá S años después del momento de la ocurrencia del evento será igual a un porcentaje del valor nominal del bono, (1 - γE)N0, cantidad sobre la que se pagarán intereses a una fuerza de interés instantánea anual δE0 desde el inicio del bono hasta el momento de la ocurrencia del evento y, a una fuerza de interés instantánea anual δE1, del momento de la ocurrencia del evento hasta el final de S años.

B NE = N 0 e δ NE R , es decir, en caso de no ocurrir el evento durante la vigencia del bono (T > R) al inversionista se le promete que el beneficio que recibirá al final de la vigencia del bono (R) será igual al valor acumulado del valor nominal del bono, N0, más los intereses generados sobre el valor nominal a una fuerza de interés instantánea anual δNE desde el inicio del bono hasta el final de su vigencia.

Para obtener el valor del precio de emisión del bono catastrófico, P0, se especifica la siguiente ecuación de equilibrio:

E V 0 = 0

de manera que el valor presente actuarial del beneficio del emisor sea igual al valor presente actuarial de la cantidad adicional que el emisor del bono debe aportar, sobre la tasa libre de riesgo, para el pago del beneficio del inversionista. Esto implica que al emitir el bono durante un gran número de periodos, los valores presentes, al momento de la emisión del bono, de las ganancias obtenidas por el emisor sean iguales a las pérdidas sobre la tasa libre de riesgo del emisor, en promedio.

Para calcular E(V0), el valor esperado de V0, se supone que la variable aleatoria del tiempo de espera para la ocurrencia del evento catastrófico, T, tiene la siguiente función de densidad:

f T u t = λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv

para t > 0 y Tu que denota el tiempo que ha transcurrido desde la última ocurrencia del evento, Tu > 0. A la función positiva λ (Tu + t) se le conoce como la función del riesgo de ocurrencia del evento (Cox y Miller, 1965) y representa la probabilidad condicional de que éste ocurrirá en el intervalo (Tu + t, Tu + t + dt) condicional a que el evento no ha ocurrido aún (dt denota un infinitesimal de tiempo). Para terremotos, Pinedo y Shpilberg (1981) consideran funciones de riesgo crecientes y, en particular lineales, lo que les permite modelar procesos con memoria del tiempo que ha transcurrido desde la última ocurrencia del evento catastrófico. En este caso, el proceso de ocurrencias del evento corresponde a un proceso de Poisson con memoria (no homogéneo). También, para el caso de terremotos, Kramer (1995), pp. 128-129, señala que en general los procesos de Poisson son adecuados para el análisis práctico del riesgo de ocurrencia y presenta una extensa referencia bibliográfica de otros modelos de los procesos de Poisson homogéneos y no homogéneos.

Si λ (Tu + t) = λ (λ > 0), es decir, la función del riesgo de ocurrencia del evento catastrófico es constante, entonces f Tu t = λ e λ t corresponde a una función de densidad exponencial y el proceso de ocurrencias del evento corresponde a un proceso de Poisson sin memoria (homogéneo) que es el utilizado en el cálculo del precio de un bono catastrófico por Aase (2001). Por tanto, en el caso general en el que λ (Tu + t) es una función positiva y, generalmente, creciente,

E V 0 = 0 R D t e δ Cetes t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt + + R P 0 B NE e δ Cetes t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt

que es equivalente a

E V 0 = 0 R P 0 1 γ E N 0 e δ E 0 t e δ E 1 S e δ Cetes t + S λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt + + R P 0 N 0 e δ NE R e δ Cetes R λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt

Al resolver la ecuación E(V0) = 0 para P0 se obtiene el valor del precio de emisión del bono como función de λ (Tu + t), R, S, N0, γE, δE0, δE1, δNE y δCetes:

P 0 = 1 γ E N 0 e ( δ Cetes δ E 1 ) S 0 R e ( δ Cetes δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt + + N 0 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv

Con este bono, en caso de ocurrir el evento catastrófico durante la vigencia de aquel, el emisor (gobierno) tiene disponible, al momento de la ocurrencia del evento, DT pesos por cada bono que haya vendido.

Si S = 0 entonces, en caso de ocurrir el evento catastrófico, el beneficio del inversionista se paga al momento de la ocurrencia del evento. En este caso,

P 0 = 1 γ E N 0 0 R e ( δ Cetes δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt + + N 0 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv

a) Restricciones en los valores de δE0, δE1 y γE. Denótese por DT el disponible que posee el emisor (gobierno) en caso de ocurrir el evento catastrófico al tiempo T para mitigar los efectos de este evento. El disponible es igual a la diferencia entre el valor acumulado al tiempo T, a tasa libre de riesgo, del capital recibido por la venta del bono catastrófico y el valor presente al tiempo T de los beneficios prometidos al inversionista en caso de que el evento ocurra:

D T = P 0 e δ Cetes T 1 γ E N 0 e δ E 0 T e δ E 1 S e −δ Cetes S si T R 0 si T > R

Si se desea que DT > 0 para toda T en el intervalo [0, R] entonces se debe satisfacer que

δ E 0 δ Cetes T + δ E 1 δ Cetes S < ln P 0 N 0 1 1 γ E

Una posible manera de garantizar que esta desigualdad se cumpla para cualquier valor no negativo de S y T es aplicando las siguientes restricciones:

  • δE0 < δCetes,

  • δE1 < δCetes y

  • P0 ≥ (1 - γE)N0.

En términos de los beneficios al inversionista estas restricciones implican que, en caso de ocurrir el evento, el inversionista debe recibir beneficios a fuerzas de interés inferiores a la fuerza de interés de Cetes y el precio de emisión del bono catastrófico (P0) debe ser superior a la cantidad que retiene el inversionista (1 - γE)N0. Si γE = 0 entonces el precio de emisión del bono debe ser mayor o igual a su valor nominal P0N0.

La última restricción P0 ≥ (1 - γE)N0 es equivalente a γE 1 - (P0/N0), que utilizando la ecuación 6 implica

γ E 1 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv 1 e ( δ Cetes δ E 1 ) S 0 R e ( δ Cetes δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt

b) Determinación de δE0 y δE1. Los valores a utilizar de δE0 y δE1 se pueden determinar mediante la especificación de una cota inferior y otra superior al disponible DT considerando δE0 < δCetes, δE1 < δCetes y γE ≥ 1 - (P0/N0). Si se desea que el disponible al momento de la ocurrencia del evento sea al menos cierta porción del precio de emisión, es decir,

D T rP 0

para toda T en el intervalo [0, R] y 0 < r ≤ 1 se requiere que

e δ Cetes T 1 γ E N 0 P 0 e δ E 0 T + ( δ E 1 δ Cetes ) S r

La función g (T) definida como

g T = e δ Cetes T 1 γ E N 0 P 0 e δ E 0 T + ( δ E 1 δ Cetes ) S

es una función creciente de T, para T en el intervalo [0, R] y S > 0, ya que su derivada con respecto a T,

dg dT = δ Cetes e δ Cetes T δ E 0 1 γ E N 0 P 0 e δ E 0 t + ( δ E 1 δ Cetes ) S

es positiva dado que se cumple que

δ Cetes δ E 0 > 1 γ E N 0 P 0 e ( δ E 0 δ Cetes ) T + ( δ E 1 δ Cetes ) S

si δE0 < δCetes, δE1 < δCetes y γE 1 - (P0/N0). Por tanto, g(T) y DT toman su mínimo valor en T = 0 y su máximo valor en T = R en el intervalo [0, R].

Si el emisor del bono catastrófico (gobierno) requiere un disponible mínimo de αP0 (que se da en T = 0) y un disponible máximo de ωP0 (que se da en T = R) para 0 < α < 1 y α < ω entonces se debe satisfacer el siguiente par de ecuaciones

D 0 = α P 0

y

D R = ω P 0

que son equivalentes a

1 1 γ E N 0 P 0 e δ E 1 δ Cetes S = α

y

e δ Cetes R 1 γ E N 0 P 0 e δ E 0 R e δ E 1 δ Cetes S = ω

Al resolver la ecuación (18) para δE1 se obtiene

δ E 1 = δ Cetes + 1 S ln 1 α 1 γ E N 0 P 0

La fuerza de interés δE1 satisface las siguientes restricciones: δE1 ≥ 0 y δE1 < δCetes. La restricción δE1 ≥ 0 implica que a partir de la ecuación (20) se debe satisfacer:

1 α 1 γ E N 0 P 0 e −δ Cetes S

la cual es equivalente a

α 1 1 γ E N 0 P 0 e −δ Cetes S

Dada la restricción δE1 < δCetes se requiere, a partir de la ecuación (20), que

1 S ln 1 α ( 1 γ E ) N 0 P 0 < 0

la cual implica que

α > 1 1 γ E N 0 P 0

Al conjuntar las desigualdades (22) y (24) se tiene que

1 1 γ E N 0 P 0 < α 1 1 γ E N 0 P 0 e −δ Cetes S

Nótese que la cota superior de α es una función creciente de γE y S como se esperaba, es decir, al aumentar la porción del valor nominal que retiene el emisor en caso de ocurrir el evento catastrófico y/o el periodo de diferimiento, aumenta el disponible mínimo al que tendrá acceso el emisor en caso de ocurrir el evento.

Ahora, remplazando el valor de δE1 de la ecuación (20) en la ecuación (19) se tiene

e δ Cetes R 1 α e δ E 0 R = ω

la cual al resolverse para δE0 implica que

δ E 0 = 1 R ln e δ Cetes R ω 1 α

La fuerza de interés δE0 satisface las siguientes restricciones: δE0 ≥ 0 y δE0 < δCetes. Dada la restricción δE0 ≥ 0 y utilizando la ecuación (27) se tiene que

1 R ln e δ Cetes R ω 1 α 0

la cual implica

ω e δ Cetes R + α 1

Dada la restricción δE0 < δCetes se requiere que

e δ Cetes R ω < ( 1 α ) e δ Cetes R

la cual implica que

ω > α e δ Cetes R

y, por tanto,

α e δ Cetes R < ω e δ Cetes R + α 1

La cota superior a ω, como es de esperarse, es una función creciente de δCetes y R.

En el caso en el cual el pago de los beneficios al inversionista, si el evento ocurre dentro de la vigencia del contrato del bono catastrófico, se haga en el momento de la ocurrencia del evento, es decir, S = 0, el precio de emisión del bono es igual a

P 0 = 1 γ E N 0 0 R e ( δ Cetes δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt + + N 0 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv

con las restricciones δE0 < δCetes y γE 1 - (P0/N0). La restricción sobre γE es equivalente a

γ E 1 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv 1 0 R e ( δ Cetes δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt

La ecuaciones (18) y (19) se convierten en

1 1 γ E N 0 P 0 = α

y

e δ Cetes R ( 1 γ E ) N 0 P 0 e δ E 0 R = ω ,

respectivamente. La primera ecuación implica que α se puede escribir como una función creciente de γE. En el caso extremo que se desee α = 1 se necesita γE = 1, es decir, en caso de ocurrir el evento catastrófico el inversionista no recibe beneficio alguno. Remplazando el valor de α de la ecuación (35) en la ecuación (36) y resolviendo δE0 se obtiene

δ E 0 = 1 R ln e δ Cetes R ω 1 α

La fuerza de interés δE0 satisface las restricciones δE0 ≥ 0 y δE0 < δCetes. Dada la restricción δE0 ≥ 0 y utilizando la ecuación (37) se tiene que

e δ Cetes R ω 1 α 1

la cual es equivalente a

ω e δ Cetes R + α 1

Dada la restricción δE0 < δCetes y utilizando la ecuación (37) se tiene que

e δ Cetes R ω 1 α < e δ Cetes R

lo que implica

ω > α e δ Cetes R

Al conjuntar las desigualdades (39) y (41) se obtiene

α e δ Cetes R < ω e δ Cetes R + α 1

con α = 1 - (1 - γE)(N0/P0).

2. Periodo de diferimiento con duración aleatoria (R - T). Pago al final del contrato del bono catastrófico

Es posible que se desee efectuar todos los pagos de beneficios al inversionista al final de la vigencia del bono. En este caso, el periodo durante el cual se aplica la fuerza de interés anual δE1, el intervalo (T, R], resulta tener una duración aleatoria R - T en vez de fija e igual a S. En este caso, la variable aleatoria V0 está definida como

V 0 = D T e −δ Cetes T si T R P 0 B NE e −δ Cetes R si T R

Pero a diferencia del caso con periodo de diferimiento con duración fija:

  • D T = P 0 e δ Cetes T B T e −δ Cetes ( R T ) es equivalente a D T = P 0 e δ Cetes T ( 1 γ E ) N 0 e δ E 0 T e δ E 1 ( R T ) e −δ Cetes ( R T ) , es decir, el emisor (gobierno), al momento de la ocurrencia del evento obtiene un beneficio que es igual a la diferencia entre el monto acumulado del precio de emisión del bono ( P 0 e δ Cetes T ) menos el valor presente al momento de la ocurrencia del evento del beneficio prometido al inversionista en caso de ocurrir el evento, B T e −δ Cetes ( R T ) .

  • B T = 1 γ E N 0 e δ E 0 T e δ E 1 ( R T ) , es decir, en caso de ocurrir el evento durante la vigencia del bono catastrófico (TR), al inversionista se le promete que el beneficio que recibirá al final de la vigencia del bono será igual a una porción del valor nominal del bono, (1 - γE)N0, cantidad a la que se le pagará una fuerza de interés instantánea anual δE0 desde el inicio del bono hasta la ocurrencia del evento, y del momento de la ocurrencia del evento hasta el final de la vigencia del bono a una fuerza de interés instantánea anual δE1.

  • B NE = N 0 e δ NE R , es decir, en caso de no ocurrir el evento durante la vigencia del bono (T > R), al inversionista se le promete que el beneficio que recibirá al final de la vigencia del bono (R) será el valor acumulado del valor nominal del bono, N0, más los intereses generados a una fuerza de interés instantánea anual δNE desde el inicio del bono hasta el final de su vigencia.

Al resolver la ecuación E(V0) = 0 par P0 se obtiene

P 0 = 1 γ E N 0 e ( δ Cetes δ E 1 ) R 0 R e ( δ E 1 δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt + + N 0 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv

a) Restricciones en los valores en δE0, δE1, y γE. En el caso de un periodo de diferimiento con duración aleatoria (R - T):

D T = P 0 e δ Cetes T 1 γ E N 0 e δ E0 T e δ E 1 ( R T ) e −δ Cetes ( R T ) si T R 0 si T > R

Si se desea que DT > 0 para toda T en el intervalo [0, R] entonces se debe satisfacer que

( δ E 0 δ E 1 ) T + ( δ E 1 δ Cetes ) R < ln 1 ( 1 γ E ) N 0 P 0

Una posible manera de garantizar esta desigualdad para cualquier valor no negativo de R y T es tomando:

  • δE0 < δE1,

  • δE1 < δCetes y

  • P0 ≥ (1 - γE)N0.

La última ecuación es equivalente a γE ≥ 1 - (P0/N0), la cual al utilizar la ecuación (45) implica

γ E 1 e ( δ Cetes δ NE ) R Tu Tu + R λ v dv 1 e ( δ Cetes δ E 1 ) R 0 R e ( δ E 1 δ E 0 ) t λ T u + t e Tu Tu + t λ v dv dt

En términos de los beneficios al inversionista en el bono catastrófico estas restricciones implican que, en caso de ocurrir el evento, el inversionista debe recibir beneficios a tasas de interés inferiores a la tasa de Cetes. Además, la tasa de interés que recibe el inversionista del inicio de la vigencia del bono al momento de la ocurrencia del evento debe ser inferior a la tasa de interés que se le paga al inversionista en el momento de la ocurrencia del evento hasta el final de la vigencia del bono.

b) Determinación de δE0 y δE1. Los valores a utilizar de δE0 y δE1 se pueden determinar mediante la especificación de una cota inferior y otra superior al disponible DT considerando δE0 < δE1, δE1 < δCetes y γE ≥ 1 - (P0/N0). Si se desea que el disponible al tiempo de ocurrencia del evento catastrófico sea al menos cierta porción del precio de emisión, es decir,

D T rP 0

para toda T en el intervalo [0, T] y 0 < r ≤ 1 esto implica que

e δ Cetes T 1 γ E N 0 P 0 e ( δ E 0 δ E 1 + δ Cetes ) T + ( δ E 1 δ Cetes ) R r

La función g (T) definida como

g T = e δ Cetes T 1 γ E N 0 P 0 e ( δ E 0 δ E 1 + δ Cetes ) T + ( δ E 1 δ Cetes ) R

es una función creciente de T, para T en el intervalo [0, R], ya que su derivada con respecto a T,

dg dT = δ Cetes e δ Cetes T δ E 0 δ E 1 + δ Cetes 1 γ E N 0 P 0 e ( δ E 0 δ E 1 + δ Cetes ) T + ( δ E 1 δ Cetes ) R

es positiva ya que

δ Cetes δ Cetes + δ E 0 δ E 1 > 1 γ E N 0 P 0 e ( δ E 0 δ E 1 ) T + ( δ E 1 δ Cetes ) R

para toda T en [0, R] y R > 0 si δE0 < δE1; δE1 < δCetes y γE ≥ 1 - (P0/N0). Por tanto, g (T) y DT toman su mínimo valor en T = 0 y su máximo valor en T = R en elT intervalo [0, R].

Si el emisor del bono catastrófico (gobierno) requiere un disponible mínimo de αP0 (que se da en T = 0) y un disponible máximo de ωP0 (que se da en T = R) para 0 < α < 1 y α < ω entonces se debe satisfacer el siguiente par de ecuaciones

D 0 = α P 0

y

D R = ω P 0

que son equivalentes a

1 1 γ E N 0 P 0 e ( δ E 1 δ Cetes ) R = α

y

e δ Cetes R 1 γ E N 0 P 0 e δ E 0 R = ω

Al resolver la ecuación (55) para δE1 se obtiene

δ E 1 = δ Cetes + 1 R ln 1 α 1 γ E N 0 P 0

La fuerza de interés δE1 satisface las restricciones δE1 ≥ 0 y δE1 < δCetes. Dada la restricción δE1 ≥ 0 y utilizando la ecuación (57) se tiene

1 α 1 γ E N 0 P 0 e −δ Cetes R

la cual implica

α 1 1 γ E N 0 P 0 e −δ Cetes R

Dada la restricción δE1 < δCetes se requiere que

1 R ln 1 α 1 γ E N 0 P 0 < 0

la cual implica que

α > 1 1 γ E N 0 P 0

Al conjuntar las restricciones (59) y (61)

1 1 γ E N 0 P 0 < α 1 1 γ E N 0 P 0 e −δ Cetes R

Ahora, al resolver la ecuación (56) para δE0 se tiene que

δ E 0 = 1 R ln e δ Cetes R ω 1 γ E N 0 P 0

La fuerza de interés δE0 satisface δE0 ≥ 0 y δE0 < δE1. Dada la restricción δE0 > 0 y la ecuación (63)

e δ Cetes R ω 1 γ E N 0 P 0 1

lo cual implica

ω e δ Cetes R 1 γ E N 0 P 0

Dada la restricción δE0 < δE1 se requiere que

1 R ln e δ Cetes R ω 1 γ E N 0 P 0 < δ Cetes + 1 R ln 1 α 1 γ E N 0 P 0

la cual implica que

ω > α e δ Cetes R

Al conjuntar las desigualdades (65) y (67) se concluye

α e δ Cetes R < ω e δ Cetes R 1 γ E N 0 P 0

En la siguiente sección se presenta un resumen de los diferentes tipos de bonos catastróficos considerados en este trabajo para el caso del proceso de Poisson sin memoria (homogéneo), es decir, con función del riesgo de ocurrencia del evento constante (λ (Tu + t) = λ). La extensión para funciones del riesgo de ocurrencia del evento no constantes es directa aunque en la mayoría de los casos se necesita llevar a cabo las integrales en la fórmula para el precio de emisión del bono, P0, numéricamente.

II. Resumen de los tipos de bonos catastróficos considerados para el caso de un proceso de Poisson sin memoria

Como puede deducirse de la sección anterior, el precio de emisión de un bono catastrófico es una función de T, el tiempo de espera aleatorio para la ocurrencia del evento catastrófico a partir del inicio de la vigencia del bono, R, la duración de la vigencia del contrato del bono, S, el periodo de diferimiento para el pago de beneficios al inversionista en caso de ocurrencia del evento, γE, la porción del valor nominal del bono que el emisor (gobierno) retiene para mitigar los efectos del evento, δE0 y δE1, las fuerzas de interés anual que se pagan al inversionista en caso de que el evento ocurra (δE0 es la fuerza de interés vigente del inicio de la vigencia del bono al momento de la ocurrencia del evento, es decir, en el intervalo [0, T] con TR y, δE1, es la fuerza de interés vigente del momento de la ocurrencia del evento al final de la vigencia del contrato del bono catastrófico, es decir, en el intervalo [T, R] o [T, T S] con TR), δNE, la fuerza de interés anual que se paga al inversionista del inicio de la vigencia del contrato del bono hasta el final de éste, es decir, en el intervalo [0, R], en caso de que el evento no ocurra, de δCetes, la fuerza de interés anual de Cetes y del valor nominal del bono N0. Es decir,

P 0 = P 0 T , R , S , γ E , δ E 0 , δ E 1 , δ NE , δ Cetes , N 0

A continuación se detalla los diferentes tipos de bonos considerados en este trabajo y las restricciones en las variables S, γE, δE0, δE1, δNE, δCetes y N0 para cada uno de ellos dada la siguiente clasificación:

  • Tipo 1a: bono catastrófico con duración del periodo de diferimiento fijo y positivo (S > 0).

  • Tipo 1b: bono catastrófico con duración del periodo de diferimiento igual a 0 (S = 0) o bono catastrófico con pago de beneficios al inversionista, en caso de que el evento catastrófico ocurra, al momento de la ocurrencia del evento.

  • Tipo 2: bono catastrófico con duración del periodo de diferimiento aleatorio (R - T) o bono catastrófico con pago de beneficios al inversionista al final de la vigencia del contrato del bono catastrófico (en caso de que el evento ocurra o no).

  • Tipo 3: bono catastrófico en el cual en caso de ocurrir el evento el inversionista no recibe beneficio alguno (γE = 1).

1. Bono catastrófico tipo 1a

Este bono catastrófico otorga los siguientes beneficios al inversionista: i) en caso de ocurrencia del evento durante la vigencia del bono: al inversionista se le retiene γEN0 y el restante (1 - γE)N0 obtiene una fuerza de interés anual δE0 del inicio de la vigencia del bono al momento de la ocurrencia del evento y una fuerza de interés anual de δE1 del momento de la ocurrencia del evento al final de un periodo de diferimiento de S > 0 años, después de la ocurrencia del evento, cuando se hace el pago de beneficios al inversionista, y ii) en caso de que el evento no ocurra durante la vigencia del bono catastrófico: el inversionista recibe el valor nominal del bono, N0, más los intereses generados a una fuerza de interés anual δNE durante la vigencia del bono. El pago de los beneficios al inversionista se efectúa al final de la vigencia del bono.

El emisor del bono (gobierno), en caso de que el evento catastrófico ocurra, recibe un disponible al momento de la ocurrencia del evento, DT, que satisface

α P 0 D T ω P 0

para T en el intervalo [0, R], 0 < α < 1 y α < ω.

El precio de emisión, P0, la fuerza de interés en caso de no ocurrir el evento, δNE, y el disponible para el emisor en caso de ocurrir el evento, DT, son:

P 0 = 1 γ E N 0 e ( δ Cetes δ E 1 ) S λ λ + δ Cetes δ E 0 1 e ( λ + δ Cetes δ E 0 ) R + + N 0 e ( λ + δ Cetes δ NE ) R , δ NE = λ + δ Cetes + + 1 R ln P 0 N 0 1 γ E e ( δ Cetes δ E 1 ) S λ λ + δ Cetes δ E 0 1 e ( λ + δ Cetes δ E 0 ) R

y

D T = P 0 e δ Cetes T 1 γ E N 0 e δ E 0 T e δ E 1 S e −δ Cetes S

Restricciones:

  • S > 0

  • 1 e λ + δ Cetes δ NE R 1 e δ Cetes δ E 1 S λ λ + δ Cetes δ E 0 1 e λ + δ Cetes δ E 0 R γ E 1 ,

  • 0 < δ E 0 < δ Cetes ,

  • 0 < δ E 1 < δ Cetes ,

  • δ E 0 = 1 R ln e δ Cetes R ω 1 α ,

  • δ E 1 = δ Cetes + 1 s ln 1 α 1 γ E N 0 P 0 ,

  • 1 1 γ E N 0 P 0 < α 1 1 γ E N 0 P 0 e δ Cetes S y

  • α e δ Cetes R < ω e δ Cetes R + α 1

2. Bono catastrófico tipo 1b

Este bono otorga los siguientes beneficios al inversionista: i) en caso de ocurrencia del evento catastrófico durante la vigencia del bono: al inversionista se le retiene γEN0 y el restante (1 - γE)N0 obtiene una fuerza de interés anual δE0 del inicio de la vigencia del bono al momento de la ocurrencia del evento en el cual se hace el pago de beneficios al inversionista, y ii) en caso de que el evento no ocurra durante la vigencia del bono: el inversionista recibe el valor nominal del bono, N0, más los intereses generados a una fuerza de interés anual δNE durante la vigencia del bono. El pago de los beneficios al inversionista se efectúa al final de la vigencia del bono.

El emisor del bono (gobierno), en caso de que el evento catastrófico ocurra, recibe un disponible al momento de la ocurrencia del evento, DT, que satisface

α P 0 D T ω P 0

para T en el intervalo [0, R], 0 < α < 1 y α < ω.

El precio de emisión, P0, la fuerza de interés en caso de no ocurrir el evento catastrófico, δNE, y el disponible para el emisor en caso de ocurrir el evento, DT, son:

P 0 = 1 γ E N 0 λ λ + δ Cetes δ E 0 1 e λ + δ Cetes δ E 0 R + + N 0 e λ + δ Cetes δ NE R , δ NE = λ + δ Cetes + + 1 R ln P 0 N 0 1 γ E λ λ + δ Cetes δ E 0 1 e λ + δ Cetes δ E 0 R

y

D T = P 0 e δ Cetes T 1 γ E N 0 e δ E 0 T

Restricciones:

  • S = 0

  • 0 < δ E 0 < δ Cetes

  • 1 e ( λ + δ Cetes δ NE ) R 1 λ λ + δ Cetes δ E 0 1 e ( λ + δ Cetes δ E 0 ) R γ E 1 ,

  • δ E 0 = 1 R ln e δ Cetes R ω 1 α ,

  • α = 1 1 γ E N 0 P 0 y

  • α e Cetes R δ < ω e Cetes R δ + α 1 .

3. Bono catastrófico tipo 2

Este bono otorga los siguientes beneficios al inversionista: i) en caso de ocurrencia del evento catastrófico durante la vigencia del bono: al inversionista se le retiene γEN0 y el restante (1 - γE)N0 obtiene una fuerza de interés anual δE0 del inicio del bono al momento de la ocurrencia del evento y una fuerza de interés anual δE1 del momento de la ocurrencia del evento al final de la vigencia del bono cuando se hace el pago de beneficios al inversionista; ii) en caso de que el evento no ocurra durante la vigencia del bono: el inversionista recibe el valor nominal del bono, N0, más los intereses generados a una fuerza de interés anual δNE durante la vigencia del bono. El pago de los beneficios al inversionista se efectúa al final de la vigencia del bono.

El emisor del bono (gobierno), en caso de que el evento catastrófico ocurra, recibe un disponible al momento de la ocurrencia del evento, D T, que satisface

α P 0 D T ω P 0

para T en el intervalo [0, R], 0 < α < 1 y α < ω.

El precio de emisión, P0, la fuerza de interés en caso de no ocurrir el evento, δNE, y el disponible para el emisor en caso de ocurrir el evento, DT, son:

P 0 = 1 γ E N 0 e ( δ Cetes δ E 1 ) R λ λ + δ E 1 δ E 0 1 e ( λ + δ E 1 δ E 0 ) R + + N 0 e ( λ + δ Cetes δ NE ) R , δ NE = λ + δ Cetes + + 1 R ln P 0 N 0 1 γ E e ( δ Cetes δ E 1 ) R λ λ + δ E 1 δ E 0 1 e ( λ + δ E 1 δ E 0 ) R

y

D T = P 0 e δ Cetes T 1 γ E N 0 e δ EO T e δ E1 R T e δ Cetes R T

Restricciones:

  • 1 e ( λ + δ Cetes δ NE ) R 1 e ( δ Cetes δ E 1 ) R λ λ + δ E 1 δ E 0 1 e ( λ + δ E 1 δ E 0 ) R γ E 1 ,

  • 0 < δ EO < δ E 1 ,

  • 0 < δ E 1 < δ Cetes ,

  • δ E 0 = 1 R ln e δ Cetes R ω 1 γ E N 0 P 0 , MMF.7h|k4*00SEM]LmY64?h5oPml53(bLjnjDkiQBU:VAWQ0LCYCnT59EHLY;aU(VZ*NoW]gkdkB2T^daSKkk=k]?[^g]hSe;7^kF(k7nFbAgKcL[2O;jCQO;:=iLOXl;ihfW`H?iO7i|2nfP`nKoN1_(c9ZN;?)IoWm=6;FV=]Bf)Mb]bdnU]_Aim=^2mK7jG85oR8M3i9h`43cdcROAVTlD?50(6i0JMmXmTI8|4eoOKPOck9XN7)nFJnVNCk;gR6EeBXKcjOAnnOb)5REYm=Vo`B[WdlARnOcBKToOCgnb(Y_?P2XNKMJG:R5El]6_MSnlNiHUWoE=]EU2nkdQC_^eDUgL1?WVegi?03MH7WH5O_JH^?9hN]a0kWAmFW_N]jGMDoJ_2M_OReaORecgY(jklVMmbO?^k?WoNV;boA3L=5gjSgYRf_YRf_YRikdADojXSmmdIfnj4mOmYbnk4UOGZK_m?o0eA4a5ekV(Hmed8(fU][;4VB^0U00C5RTdB228D53T0gaI75A4T0:`0HI6YS7O_NG26GVAJC1Pbc84ZBQAmH3Y(63*MNA_cPFUMi0KV`T0k8)RK0o9D4L4Ed1CYP8[4j*(KbB0KPZS89WSP*Z)J6)|*iLEPP[TE*PKI4CS2I=:0R|*5X1BK8C]0A2TbfDPS0==f7K(FT=92DP)BV8M6M*0ETO8015CdNgW(^TRB|=BEaJjS|U*54:2RWHh409TZZBM9VR`5=*eD:TL5|K*cMDoF=98RXURFQ6Fh_Bd4PSk=Od:;C2?ZWJ*K][DFFU4mX36UV885|RYdfW9Hc8Y1DBdI*dXDE8G?P:j(I[TQ1?N0RbhY5HUg65dRJ:XIO1d4H`9;k1n)4b6)DZJ`;BM0|VGlDdY1D=aUM1MWdH:5|(;h(_Bl=KghLET]A46m7j;ZQ*dZAVTL1]?*l||J*=]I*AVI*o5BAR:Y_:YXZdMj[9`J*9gF98ajBFPYCL((iHJkH`gXJR=KPTVCa(DJ2K0n:|=IBHJB5;blDIJDC)FL_F6XgL3JKJ95eYJj)oUSGDM6=2PHUE0k0X]kG;EUGLP:a?Wk|A:BXP:70gX`:d96i6RQ[A|n5^C=XJTMKPPU`);^WWU1^CmH3QT]`?3X)B=*]MOeH(`jCDmM;FjKQQFAOBCL|6eBEi=gj0Sd`F)mZaQ7N?O4bdLXOJEWP5Zn|RIjO_?5PUk;91Kl=ojbHOFQEhU(7R|WAH1Z]fVUN_H4dLRciFY[HJIcD]Zkfj=keNSOlX5|LSjFBmG2cbR8gP?[5A0WlL1FPbD;W?QMfO5elo_8igj(C[QdU_T1f;)ihl_*6O)|O7hb6|`hO=^lfn)?k`f03)bZORE7Y|0Bo;KG7J7?INTh;V|CQ^RXoKDPBfV(;dm2TP93omOSXF0*^bhfg*b*jMj]3Y2efaQ*c`(*9^]7Fol(TL0(S(b*i9K:WRf5Z^D)g)1QDZ[5CX11I?kYM`6=WQ^8=_YgWioABjfkohR;T)Wbc^5iO[h3CMChL0ff3CgBo))DR[mo(8bcK;lPSM[GiNO;PK[jIX?:?g;9mV)GiO_G]I[gj;o*n?hmoQhE0)ek0[6KjPLA9=Qo2?3LoWm*XN3`dJJm]bN?H21n4an65`5^P9_RNO`KCMhaJHdWiC_A]e|W;4Qn1MY?SFIY)JBcKWln]**?UBYB0h2D58?k*m(^OAREVGYB^]ol|Pn2fMGn?mMYAk4Tg:DoU(EkWJWUgA)lXRXIEjVCT^;_m9]8j7IcSaO`6Oh6R4.mmf

  • δ E 1 = δ Cetes + 1 R ln 1 α 1 γ E N 0 P 0 , MMF.7h^D4000QEMOLn963?l4n*hlVQV7fKoNmKdAjT|c3I01Gjh?_;QG=fE:h)Z*m^hbO?M:^f]K9SH=BM1?dV[edfZ5fM`]?RiGlfUn]eaL_Ee]IZ]|VRmGdK`hoST_W[IOAPmUmG;H5k_Ainenm8nI63Fnf^AgnGdFIGno5|O]HGm]*OFH[MH*9=;a:8U733*oCO(||_58lWPT63OaR;(?FWb*J(anOKROgRfRlMGYJ[?)l_a^LH|9[=N;jCb;?[fDeFQM7XoKoA=h_a`S5|oW|g9oO:fn;lYoo*jPi_eZLJHFGReKmG;gnfeEUWle=]EW2n7dFCS^eDWoiRK)]loUb`QdXmGQ^MPg5Q_?3ZoE5[QAogC*W`na7Z3=1gScBlCi9NIlP3XOh(j7bO=nmWbH_SRW7cHG*jLn*5mLXRl^dAL3m(D0OC5(GoCC5l?diL3Yb`7jlYbndon0Zb=R;[c(Hak[X0M];;FG9LQL1J00V)2TdB228D53T0f9I=4Y2B05H8((3LaS_oY[Q3;c8ZK1Pbb82jJQ9mH3C8(7Pfifo^ZbZ?D6^;693(Pj9(;jU6cR4]4eh2*CPMD9(Vj_I02^2Y(*VF(2]Ic*`5P7;V^4UDQZT7JB4hbB9RT8[41J0dWH2EX2XLTBVX8`KFk2M_NT=I0d0LU9*J*kPa[8iP01:7Xj^Q=L9^fndQ3Rd];H:*6:YZ0`1A|2:46X:TWM50Dn1EDkHP[GSC5d*mdoUQ1A:B6R6Fd]VXK6=(9jCHm2:nbC^Qfd^aHe:ig*7]2HQ*Rb9G;JMU[2R4aJ8A5]BA=JQ(A]G`?MATdB4PT?*MIi9=Ha[U7JkV;XIC2d4*cIgn3nhC8HiBY[0]9d2I:_mcBT5*g^[h;|nS2TK75k6F9I^[geOEPSBDfd4Jg_PQXU;CF;2E`gll0BBmZVUS8RTo:WP^bHb[JbZB;]WFYb(6U2UaSB(JVU82DgS3?FVBf(Mj7X32i99PmC5)SfP3S[32EV)|SBLW566Y5ce[5eAR=gPjTaBEOJa^R_I*(eGIQ*H6;E0Rc:MA)bDaDg89_Cifi4RQX82]c=Z04]RI^AXT7dK;PKTkI1Y3Fh89N3BoXiiLIT(f2h9?N3`j1T[J?[cc[3(2UehmXi7CL|Vd:jJMVRYRBgd`Ohb6BaBc^Fl)jAga)]g:6^5Ek1j[[8fNTk3eH9Zfc*fo3O^|V7EPDAIK0hUPk;H=E)lnhE[8W;HRP[deR=|iZ)eEiLVej^a_lDRn)Am6JmFRkcR4gP?[590WlL1FPbD;W?QNLoc[inN1g_dHWg3i?N87^LNihl_*6O)ZMEM*Qnn;1i|mdGeGN?3N15nE*LBhl]h5FiLeo6_2H5cF=AKH_OMZD8fB:5k?PU84`nngJ|RX05FO4aj6B?C_GXm9V^f043O8b06fgM;g`b1`0bLk934U^ZZ3[^2]G^K52QPZO28)0l^eo1HB`)eC=l9lg;KlO*Wok59laen6ai_ccgPm=d?cd2;8=5=knhh22]?ldS;=_M8Xl`g?[WiNNKjCY3h`VS;o9|TN?geI^gcAXN2)Eh0ik9n0dE|bPK`cln?Yg*J(fhcfMF7||Gkb:=AE]SFXe?GX0*VdMh98BgFKCKXa)(JnoFn1(M[X1h8WE_?3GWJIe)610bNH`D1)d;=h|N^Z^HFnG4AIo59dSSW]kWX|fhca)l=_7h14Gm3cD5d3|.mmf

  • 1 1 γ E N 0 P 0 < α < 1 1 γ E N 0 P 0 e δ Cetes R y

  • α e δ Cetes R < ω < e δ Cetes R 1 γ E N 0 P 0 .

4. Bono catastrófico tipo 3

Los bonos tipo 1a, 1b y 2 son equivalentes al bono tipo 3 cuando γE =1. En el bono tipo 3 se puede tener la máxima fuerza de interés posible en caso de no ocurrir el evento,

δ NE = λ + δ Cetes + 1 R ln P 0 N 0

Este bono catastrófico otorga los siguientes beneficios al inversionista: i) en caso de ocurrencia del evento durante la vigencia del bono catastrófico: el inversionista no recibe beneficio alguno, es decir, el emisor retiene la totalidad de la inversión inicial (γE = 1), y ii) en caso de que el evento no ocurra durante la vigencia del bono catastrófico: el inversionista recibe el valor nominal del bono, N0, más los intereses generados a una fuerza de interés anual δNE durante la vigencia del bono. El pago de los beneficios al inversionista se efectúa al final de la vigencia del bono.

Precio de emisión, P0, fuerza de interés en caso de no ocurrir el evento, δNE, y disponible para el emisor en caso de ocurrir el evento, DT, son:

P 0 = N 0 e ( λ + δ Cetes δ NE ) R ,

δ NE = λ + δ Cetes + 1 R ln P 0 N 0

y

D T = P 0 e δ Cetes T

para T en el intervalo [0, R].

Restricciones:

  • γ E = 1 ,

  • α = 1 ,

  • ω = e δ Cetes R y

  • δ NE = λ + δ Cetes + 1 R ln P 0 N 0 .

Algunas consideraciones adicionales respecto al cálculo actuarial de un bono catastrófico en el supuesto de un proceso de Poisson sin memoria: i) precio del bono catastrófico en el mercado secundario: dada la propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial que se utiliza para el tiempo aleatorio de espera para la ocurrencia del evento, el valor del bono en el mercado secundario W años después de emitirse el bono (W < R)es igual al valor de un bono con duración R - W calculado con la tasa de interés de Cetes vigente al tiempo W; ii) valor a utilizar de λ: para la determinación del valor de λ a utilizar, λ ̂ , se puede derivar a partir de la probabilidad estimada de que el evento catastrófico ocurra durante la vigencia del bono, p ̂ E , ya que

p ̂ E = 1 e λ ̂ R MMF.7h^c3`00QEMOLn963?l4n*hlVQV7FNdOko[N2?FUV*K8P)n^3kc*Zi|bCB1e^?K^(WcgB^^e;G(f3DW*CmZEm==ZQMWL;Mh_Eo=YO[MLG;eMKFJ[K9X_Em5lNoac_WgLOAhm5)G[HKmm6WgJkDOof8WEhj]=OYOOIe7fmiO]LGOHGd):^XoIJXeN8Q)?TWPTD??C=(lR5hlDa2(Y`(HSP7M2_c(96[=O7njWMh]XO7FjfZbc?;mKg586joER)|nR3jm5)EXGan=^ohR[GhnAR)OcFK4oORVo;HYoZ`RXQWje?5?;BZeJmO;Ymm^b:?iZK;[?5]bI(gM*ZI?nh3K)Mlo5j`QeXmGQNK]_;2jN7KjD)nC6ejN3jf68m*1]6)0=UhS39NH`*1d6^((`NNQW3l?diCWm45`)WOX0OGV9_[a4G`k*U`?diC1mfDmO3]=G0jN_1^R[LoYNoaf_SXa1ES;449^PAff|C2D[U447X17H|(R***I3*XHPFnK9dJ8TP1B12c8f((CEkYN8I569U0H4FK8UU8JI^0Y*6Q0(YXWlh[)XmAJiRHT:b7TT`ojD1O69V1X0bdABMH9(hKD:`5MQ4S`39E3;2GM(M*1E8jY4DX)dTi`DW3A;*E85dQXXaTkb4TS3]_0DY6ecTjhKTmM0l**D|88XO`HeD(d18]3lM4c7^D[J^(Xbh|YagbT3VZNP:*DG76S9Z6[5UfT)ZQAd_I1B^6j(XA_ZoW6(R4hI4B=hJo4d3:DAmQ]n54ICWmC]H?beZ5VIQ?N0XBaTT1fCdkKC4|5TePZ9K4^Jl28T?W`=C)|eBIPW)PAEii4hckQ6JA_5l|]PNB=H5]mBo70I[?JE]*4I_XG8ec4]JdE;lGF*OAn6U1f5El6Ghn5MeHLeD]c46m5EGE2SY:GV:87[IQhhITWKe5;1I5KnE;:8ZFX[Vf[FgZUQ1i(VO8]U7I(j3U9f`d28cV`Ad8Fb(kPDVca2Lf3J0`;A6D[2MY3Si*;16Q50M6bMd*Qn(3DViD_K6:][fD33=bHLf5RgP8YbgKS|E(D?b)Kd`Hm8F*?9PKlI=N0UlC=B=XRO3OPajA[4FP(T^abPn)ND7i?=P075kPOPX1C]*]nOMHIQDYYVJNMdo;1|2^VWIH^JT]a)7o0SDl*nkESQNhFZV6*5SkYFO0F[kb9_inl*[0Yg^J1ghKocThn|6SfZH?4|?EK1J[cVQeN`9Sj;XJa|HkGNJS]FMg5_N[TJoe(|X2?YcGZeG)JAV)1m4Y(4oh04K39DnLn5ico)_WiD)^SAbAlO9R^3jUWLlnAI6NRYLeZFQk2)7SI_M_]]nJg25_6RN=`NR`Xka:_RbGlKZc*YJSi^bmgf]jM2QVb9*WKl710UWgdmU]^09M_a?^QDSdkgj(bIK_^43)Pa0VndlkohbA`0b|;;7RUZZFgIFJi9kLn653Z|e)*45lo^EgPHRd?iS5m:ln;[(OAWmH:9l1dnFmh_cmOQJOZO7P6ghJJKGkacU=HOiQ6EkFjAAnA^oO?bdledWI7aA=hGNKK8jO_ZcM]V6_W7jkO=;7XIWcJh8d5`*cPKWdjK=ChEfS4R6:(|Db2i6==2Fbd(f|HAHRg*eBaJXH(CQ_`?E][co0.mmf

y, por tanto,

λ ̂ = 1 R ln 1 1 p ̂ E ; MMF.7h_a3`00QEMOLn963?l4n*hlVQV7FNdOko[jA:P_cCA01Wbi?_3RG]fD:H6DL)eM(gcgB^^e;A=(*a;[9fWeKkGb|[ZKOI`_Y^?lKSjkN[]JCAKI)9l_XVUan6=J?:fo31k:oN]^Ff`6WmOK`MmfI?G`JYGOiOMIU?ge]CR|Mm][:I3gV2fFJ2DblB291lCiLIaWTH|72^:1563S0L07HCiXRL;|UhOklMd|6UhM[eK;;(o_I[LD`G8i6dncj==[^Al|bl=Q_Ge2kMM39);YM59^3eoggfOU?iD7I(=i]SaQbhZ]F_Illm_]_RcoK6CjW2bH(bOVX68WiigK)5loUjl3i0dF^nMRfdQL?=UmgJla=jjOm^Y3GmHmJD=?gW0YLKRD)OBT3Sfi*gobL3ikj4mOWZHOW(^nGNm9Gei:Gei:GoJT;g_BUogYbo?YbokdELo^ZikdeFWjW_l_7QdIPjaXR24fPHoLF9V:ETR33T0S|479T406*D:2*5]VbI5B4T2:`0DJ6aSRJ_E;A;BXB0X30RfI2XEQAZh250H4PFTl_oPXJ[k5g(A81N*lTV5mbYch*4`=P4DRZCZ19_MJ1N2[(0ZFP*:XjH*KYSZ0ZQ5E8ZU1fPU)2Yhd2d5B1M8J:9JMi2F*QRgQ8DSKaRIMebN_PN81:605DGh?JZ2J3DBPnNjHSW6E]7jEIHT[affW36PNPZH*G32P9D]E:jjV)JQ2d;DRQG3M24(ge?gSF28jIHTH`E^;Qf4XS;3Nl:d`V_ZTKPOSSdFMUDUh3aR:*PKJ(CY])bdAS6J]T(RfY0T_*^;Mel2dEY)4FJ9=D7DLRO(IebQ]_EQn62a_1(_lFo8O3X?E_[8f8()GD?:eCl]JdI9o7FSOQb5TAniE|)FhNeOeHHdD5o56M5DGe2QYDg(D`7Dc3abCY6eXZF0d:glZVLMD]IE==F__e;2=BA)na;:)BAd7:C]Q84AW]PSX*]TIG8Y=7Z4i()d6PNP(9F4kb?5bPF2=220j||iX13nH6Y7bYFf4eK5|X)4;4`i|[5]0AKU^C7JZhPMT|o_PAjB|PNC0Wh`Jl9;h6BTKa?L6o9Qd3F:]0I8M3U3l?NG7I3=P*;7c0CPXAJ_Xnk))(4a:djQfM|L?bjJ*OUZfZ2W9kOP1GiTRmV772YlEZWbB53cZB_4CY;j;_9`o8DPE[W:1kl9oibLOBCEJE47R|oAH1JWaW7NO84el57eAfDIZ_MAfY)kRf_Ab=OjWF41KLSKZaGbNAf:4idV(4_`38[39T)GO2lnoWgcmZ7Q`QROOGbH[PCZSO)KVF*WXeSWNkgM1SbjK=n]]|OmNHH]hEShEQk;23_6Rg?Q_HaDWALiS|ElG_fi:6J:U5;;3Uh0Xn)cKHEl4;=V:Sh6Wc_3d6IhihADKc82^4GRRWOo5=g(0B0]?NjBXYHYmAedCfnl=(GC*e6*4UBOg2mb(fFkoS5m:lo;K8OAWmH6Al1dnVMo?CoE`=og?6*:GhJ:KWkeaY9JOYQ6EkFjFAfA^nM?lllehVI7`B=IWNCK;jO_ZcM]Z7?W[mM]ZROLe(CcR4i`M[_8X*BHZC:85LSd1B3cR7*lOTfRc9BFL_iDJdhLQ6D_adAROA2nh2(=YU;;QlOS);3gE4?mYkn:7hA43oPn2S;GA.mmf

iii) número total de bonos catastróficos por vender: el emisor del bono (gobierno) por cada bono que vende tiene al menos, en caso de ocurrir el evento, αP0 pesos. El número total de bonos por vender debe estar determina do por la cantidad promedio de dinero que representarán los daños ocasionados por el evento. Así, si el gobierno estima que el evento tendrá un costo promedio igual a C, entonces el gobierno deberá vender CP0 bonos catastróficos. En caso de que no se llegara a vender esta cantidad de bonos el gobierno sólo cubrirá una porción del daño esperado y, en caso de vender una cantidad superior, tendrá dinero sobre el daño esperado que puede llegar a cubrir desviaciones positivas en el daño esperado.

En la siguiente sección se presenta ejemplos numéricos del precio de emisión y beneficios del bono catastrófico para los diferentes tipos de bonos considerados y combinaciones de valores de λ, R, S, γE, δE0, δE1, δNE y δCetes.

III. Ejemplos numéricos

En el cuadro 1 se presenta los valores numéricos del precio de emisión del bono catastrófico, P0, y de las cotas del disponible para el emisor (gobierno) en caso de que el evento ocurra durante la vigencia del bono, αP0 y ωP0. En el cuadro se utiliza el valor de λ = 0.05, es decir, en promedio el evento ocurre 5 veces cada 100 años, R = 1, es decir, una duración de la vigencia del bono de un año y, una tasa de interés efectiva anual de Cetes igual a 5% de manera que δCetes = ln(1.05) = 0.048790. El valor nominal del bono se fija en 100 pesos. En cuanto a la porción del valor nominal que se retiene al inversionista, en caso de que el evento ocurra durante la vigencia del bono, γE, se utilizan los valores de 0, 0.1, 0.25, 0.50, 0.75 y 0.90. Los valores de α y ω utilizados son los puntos medios entre sus cotas inferiores y superiores.

Ejemplos numéricos de los distintos tipos de bonos catastróficos (1a, 1b y 2)a
a

Con P0 = 95.94, N0 =100 y α y ω seleccionadas como el promedio de sus cotas inferiores y superiores. La tasa i *NE la tasa de interés efectiva anual en caso de no ocurrir el evento catastrófico, BR/2 en S + (R/2) representa el beneficio del inversionista en S + (R/2) en caso de que el evento ocurra a la mitad de la vigencia del bono y BNE representa el beneficio al final de la vigencia del bono en caso de no ocurrir el evento. A representa la diferencia entre el valor presente, al inicio del bono, del beneficio al inversionista en caso de no ocurrir el evento BNE y el precio de emisión del bono, P0

Como resultados en el cuadro 1 se presenta BR/2 en S + (R/2) que representa el valor al tiempo S + (R/2) del beneficio que recibe el inversionista en caso de ocurrir el evento catastrófico después de R/2 años de la emisión del bono (a la mitad de la vigencia del bono). Este beneficio se calcula al tiempo S + (R/2) para poder hacer comparables los beneficios de los bonos tipos 1b y 2 con los del bono tipo 1a: para el bono tipo 1b, que paga beneficios al inversionista en caso de ocurrir el evento catastrófico al momento de su ocurrencia, este beneficio se lleva S años hacia adelante considerando la misma tasa de Cetes utilizada en el cálculo de emisión del bono. Similarmente, para el bono tipo 2, en el cual el pago del beneficio por ocurrencia del evento se hace al final de la vigencia del bono, este beneficio se lleva S - (R/2) años hacia adelante con la misma tasa de Cetes con la cual se calculó el precio de emisión del bono para hacerlo comparable con el beneficio en caso de ocurrencia del evento del bono tipo 1a en el cual el beneficio se paga S + (R/2) años después de la emisión del bono. Se fijó el valor del precio de emisión del bono en

P 0 = N 0 e δ Cetes R = 100 e δ Cetes R

de manera que el valor de P0 es la cantidad que tendría que aportar el inversionista a tasa de interés de Cetes para que al final de R años (la vigencia del bono catastrófico) recibiera N0= 100. Con la tasa de interés de Cetes de 5% utilizada P0= 95.24 para los bonos tipo 1a, 1b, 2 y 3 y, por tanto, P0< N0.

También se incluye el valor de BNE, el beneficio al final de la vigencia del bono que recibe el inversionista si no ocurre el evento catastrófico, e i*NE, la tasa de interés efectiva anual que recibe el inversionista sobre su inversión inicial, P0, en caso de no ocurrir el evento

i NE * = e δ NE * R 1 MMF.7h^m3`00QEOMM^9637j2_0)GY|OQS)K7(mhk*[eYCX?90Nm^;kQa]fk:J*9KQkBkcN7MZoVa;K(f3DW*9fU6nS*JHKIgnO_ENST_kUKieM_EM[7)i|EZ7Bg;hao;lW7gNO9*eBn7OOTdnKCKCokF(bfWEm_R[[S?X^b_eo:h)nb_)DOMafbm`EdR5DnBN(9*ln)lb28CC`C44li0aa)0Mlblh`Z=fBl?mo)k?9YNWJjfVj`Xk_9KVl5VTlnGFOCQYJXWVnYhg)dOdO_U6;5h^EaDnn=[oBf_o_4AD0g3JWjViUh])_GZjKOK^Z[nK6ebb1JfDfOKPELW`l5eG)bNZiL9jRK[`g)iKbdVGQaNjaebXokYZ3n(|AjQ3B)lhA9a^(*LAZS327LH9`o3k66L?SnW7h;c|E(OXLl_dNNGj?(AnWb4?QnWchOYlg7jH^Cda*QmLDkOjOo5Zl=Sh5j6668Em:R=QO:b*1UT01:13Tk:6WP`9=H*I4ef(]HY2B15H8:(3*baGodU|S;cXTd3P|b9Rde3cH`7=Pd81]E6o^:bJ?*J^K6I2(Pha(?jU0AaRJP60(V4fnX4fHJG8P1GQEWH6F`2SIc*SFdM*3C8ER9Y*=Y;SS=:VZC0K*GB1PS2S](BL4FFd1BhkW;SYQnCeT3*10B*PPQg1Pd*k*4RT?AdE6mcTGAaQBK4QJ5kY`A8VX:d:IR`PNB4ZQCDCE;PDi2=XdgQ^SF6KVSjaa0R(RE45:)]AM=*=Xf`G]6SD=;fBM()bUf;QYE:J0lXV`D?|R5bfWEJ`XQ(FR7QGDTCFXC4QFn0jWI=4[:C?*CAi94HakQ1JAM5dl^PJB=X4UoKn)4bJ)TZZ`=BM8TUglCDY1FeSBn3k?X`Y6a|N17f(SBllGgH845=]16=kh869AdeHa)hK^N18IJdBbeUA2KUCcV9V8Z^|ZTTkIdZLS1Y*YMXdS6YXB0U=``HjldF1Wg8Nh=;T(W390FZ)b1P_J74M0lIFRiPY141F(oF6hgP1U=[4Zjd[M5ObaHZ^S2Q*(Nb0kHXenfF_JZh0MVN?[PAbA_0:G0gX`6d96i6lQKA|`4g9Tf;B6|09iL31?fLLV)b7C0Pb?d079B|LgCmfF*H9ZEZGG^WhhIUFdPg;C_DU^AfoX0OVBafJLL2gcgb(JdE7)YKlAF|[X^LWKi3|0YLIH;NQ?o6CCi[UKRS21K7dV4A[(YY_W|5Jn:b6(]:]eK][;YW=AOGYYN[lCo50W|TPeV_Ej|RHS)lCfbFh1mH0I|(ENichOWg|jlOGPL3)_km`j*gR07WPBM?Kk1?WO)j?P*onk1i|m^GmCN?=N:lNRb?ULL6lKYjL]o6_2I5cLNbgYFo?UDlI6|YI(O?0MWT|jo7^PbHTaG_Pdh(j)B0CYgYbRMTH1lSl4HKmh^Oc06Pc9c|T;0]EMHmMfWEkVb|*PI?JCM1ilGm6PlS?mC?n:FdZ;hN*goj5lbHjo35jWiekXNWjGh615b6RfinMY^S]?V`S6cIk_8R|]]]OUYm^YU_(V|lfMgc8||;nggeiVfkR7KC;OZYjI^7NCHmNNV7jNVdgN1CXIhRZYbKmVjXCLC5MH]XkIOc5)abV9h`n7l253TE.mmf

en la que

δ NE * = δ NE + 1 R ln N 0 P 0

Respecto al beneficio del emisor (gobierno) en caso de ocurrir el evento catastrófico se incluyen los valores de las cotas al disponible, DT, siendo la cota inferior αP0 y la cota superior ωP0. En el cuadro 1 se nota que en los casos de los bonos 1a-1, 1b-1 y 2-1, en los que, por ejemplo, 1b-1 representa el primer caso del bono tipo 1b, los valores de las cotas inferior y superior al disponible son negativas ya que no se satisface la restricción P0N0 (1 - γE). Para los bonos tipo 1 y 2 los valores de la cota inferior al disponible, αP0, son iguales ya que los valores de R y S son iguales (R = S = 1).

En caso de ocurrir el evento catastrófico el bono que ofrece el mejor beneficio al inversionista, para cualquiera de los distintos valores de γE considerados, es el bono tipo 2, seguido del tipo 1b, tipo 1a y al final el tipo 3 como se esperaba, ya que en el bono tipo 1b el inversionista recibe su beneficio al momento de la ocurrencia del evento catastrófico, y suponiendo que lo puede reinvertir a la misma tasa de Cetes con la que se calculó el precio de emisión del bono o superior, obtendrá intereses mayores a los del inversionista en el bono tipo 2 al cual se le retiene su inversión hasta el final de la vigencia del bono obteniendo una fuerza de interés anual, del momento de la ocurrencia del evento hasta el momento del pago del beneficio, igual a δE1 < δCetes. Similarmente, para el inversionista en el bono tipo 1a, si SR, en caso de ocurrir el evento, el inversionista obtendrá una tasa inferior a Cetes (δE1 < δCetes) durante un periodo más largo que en el bono tipo 2. Finalmente, en el bono tipo 3 el inversionista pierde toda su inversión. Es obvio que el valor del beneficio al inversionista disminuye, en todos los tipos de bonos, conforme aumenta el valor de γE. Respecto al emisor, la cota inferior al disponible, αP0, más grande, para cualquier valor de γE, se obtiene para el bono tipo 3, seguido de los bonos tipo 1a y 2 y, en el último lugar, el 1b. La misma pauta se observa para la cota superior al disponible, ωP0.

En caso de no ocurrir el evento catastrófico: el bono que ofrece el mejor beneficio, para distintos valores de γE, es el tipo 3, seguido del tipo 1a, el tipo 2 y, finalmente, el tipo 1b. Esta pauta es de esperarse ya que en el bono tipo 3 el inversionista corre el mayor riesgo (perder toda su inversión) seguido del tipo 1a en el que el riesgo del inversionista consiste en el diferimiento del pago y del bono tipo 2, en el que el diferimiento de pago es menor que en el tipo 1a y, por último, en el 1b, en el que el pago se hace inmediatamente al momento de la ocurrencia del evento catastrófico.

Lo más importante es que, a excepción de los casos 1a-1, 1b-1 y 2-1, el inversionista siempre recibe tasas efectivas anuales, i*NE, mayores a la tasa de Cetes, iCetes, y como es de esperarse i*NE aumenta conforme aumenta γE hasta el límite que es el bono tipo 3 el que obtiene el máximo valor de i*NE = 10.3835% que es superior a la tasa Cetes en 5.3835% y que puede ser muy atractiva para un inversionista aun sabiendo que, en caso de ocurrir el evento catastrófico, perderá toda su inversión inicial, P0.

La cantidad A = B NE e −δ Cetes R P 0 representa el valor de la cantidad que el emisor del bono debe aportar al momento de su emisión para que, a tasa de Cetes, logre tener, al final de la vigencia del bono, la cantidad de dinero suficiente para pagar el beneficio BNE al inversionista. Si al emisor del bono se le ofrece un seguro con suma asegurada igual a αP0, cuya prima se representa por PS, entonces el bono catastrófico será más barato que el seguro para el emisor si E(A) < Prima, en el que E(A) representa el valor esperado de A. En la última columna del cuadro 1 se incluye el valor de A para los bonos para los cuales αP0 > 0.

Conclusiones

Se presenta el cálculo actuarial de bonos catastróficos para desastres naturales en México. Los bonos catastróficos propuestos en este trabajo tienen la peculiaridad, a diferencia de otros bonos catastróficos actualmente ofrecidos en el mercado, de que el inversionista puede recibir beneficios a pesar de que el evento catastrófico ocurra. Las relaciones entre las distintas variables que determinan el precio de emisión del bono permiten garantizar un valor mínimo y máximo para el disponible del emisor en caso de que ocurra el evento y una tasa atractiva, que se puede ajustar de acuerdo con el grado de riesgo que el inversionista quiera asumir, en caso de que el evento no ocurra.

Notas al pie:
  • *

    Clasificación JEL : G13, G22. Los autores agradecen el apoyo de la Asociación Mexicana de Cultura A.C. para realizar esta investigación y los comentarios de un dictaminador anónimo de EL TRIMESTRE ECONÓMICO.

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Historial:
  • » Recibido: 04/02/2004
  • » Aceptado: 18/05/2005
  • » Publición impresa: 2005Oct-Dec

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Revista El Trimestre Económico, volumen LXXXVI (4), número 344, octubre-diciembre de 2019. Es una publicación trimestral que aparece en enero, abril, julio y octubre, editada por el Fondo de Cultura Económica, con domicilio en  Carretera Picacho Ajusco número 227, Col. Bosques del Pedregal, Delegación Tlalpan, C.P.  14738, Ciudad de México, teléfono (55) 5227 4672, ext. 1850, http://www.eltrimestreeconomico.com.mx/. Reserva de derechos al uso exclusivo  Número 04-2016-052612421000-203, ISSN 2448-718X. Ambos otorgados por el Instituto del Derecho de Autor. Consejo Directivo de El Trimestre Económico: Orlando Delgado Selley, Saúl Escobar Toledo y José Valenzuela Feijóo. Responsable de la última actualización de este número: Nuria Pliego Vinageras. Fecha de la última actualización: 4 de octubre de 2019. La responsabilidad por lo expresado en los artículos, notas y reseñas es  estrictamente de sus autores; en consecuencia El Trimestre Económico, el Fondo de Cultura Económica y las instituciones a las que estén asociados los autores son ajenos a ella. Todos los derechos reservados. Se autoriza la reproducción total o parcial de los artículos  aquí presentados, siempre y cuando no se mutile y se incluya en todos los casos, junto con la ficha completa, el nombre del autor al que se cite y la  dirección electrónica de la revista; de otra forma, requerirá la autorización por escrito de El Trimestre Económico.