La cópula GED bivariada. Una aplicación en entornos de crisis<a href="#fn10" class="xref_href">*</a>
Resumen

Mientras que la distribución de error general (GED) ha sido usada extensamente en aplicaciones de series de tiempo y ha demostrado una gran flexibilidad en la estimación de series de tiempo financieras, no se ha intentado utilizarla en la construcción de cópulas. Las cópulas son funciones de probabilidad que unen una función de distribución multivariada a funciones de distribución univariadas llamadas marginales. Se parte del supuesto de que las marginales son continuas y uniformes en el intervalo [0,1]. En este artículo proponemos la cópula GED bivariada, la cual, de acuerdo con nuestra revisión, no ha sido usada en la bibliografía. Esta función abarca otras funciones de distribución, como la gaussiana o la doble exponencial, empleadas frecuentemente en el análisis de fenómenos financieros. Con el fin de probar el desempeño de esta nueva cópula investigamos el contagio financiero en la crisis de 2008 empleando tipos de cambio, acciones, bonos y mercados de deuda soberana en América Latina. Los criterios usuales de decisión proveen fuerte evidencia a favor de la cópula GED sobre otras alternativas elípticas o arquimideanas.

Abstract

The General Error Distribution (GED) has been extensively used in time series econometrics applications, due to its great flexibility in the estimation of financial stylized facts. However, there has been no attempt to employ this statistical distribution in the construction of copulas. Copulas are probability functions that link one multivariate distribution to univariate distribution functions called marginals. These marginals are continuous and follow a uniform behavior within [0,1]. In this paper we introduce the bivariate GED copula to investigate financial contagion in Latinamerica during the 2008 crisis. We examine contagion in foreign exchange, equity, bonds and sovereign markets in Latinamerica. Standard decision criteria provide strong evidence in favor of the GED copula, against other widely used elliptical and arquimidean alternatives.

Palabras clave:
    • distribución GED;
    • cópula;
    • distribución bivariada;
    • contagio;
    • mercados financieros;
    • GARCH.

Clasificación JEL: C22, C46, C52, C65.

Introducción

La aplicación empírica de copulas en la economía y las finanzas ha experimentado un gran crecimiento en la última década -para una revisión detallada véase Patton (2009) y para una crítica interesante veáse Mikosch (2006) -. Practicantes y académicos que buscan medidas alternativas de riesgo y asociación, en las que se involucran dos o más variables, se han visto fuertemente atraídos hacia ellas. Las cópulas han sido útiles en el análisis de riesgos y en la valoración de productos derivados como opciones, swaps y notas estructuradas;1 también son una propuesta original en la investigación de contagio financiero2 y en la administración de riesgos.3 El concepto de cópulas condicionales ya se ha integrado exitosamente en aplicaciones de series de tiempo financieras, como lo muestra Patton (2006).

La distribución multivariada más usada para unir dos marginales es la distribución normal (e.g., Chen y Fan, 2006) utilizan la cópula normal constante. Otros autores han usado distribuciones alternativas como la t de Student o la normal mixta para captar de forma más natural la asociación entre las marginales (véanse Rodríguez, 2007, y Patton, 2006).

La cópula propuesta es una suposición sobre el comportamiento de la dependencia entre las marginales; los investigadores escogen la cópula de acuerdo a las características empíricas y a la aplicación disponible (asimetrías, persistencia, colas anchas, etc.). Para elegir la "mejor" función deben ajustarse las diferentes cópulas y luego usar criterios de elección estándar. Como en general éstas son funciones no anidadas, el proceso de elección no garantiza que la cópula escogida sea la mejor alternativa. Por lo tanto es recomendable contar con una distribución que permita captar el ancho de las colas de manera más natural, para poder modelar otras características y probar alternativas de cópulas anidadas.

En este trabajo proponemos una nueva función de distribución que, según nuestro conocimiento, no ha sido usada hasta ahora en la bibliografía de cópulas: la cópula bivariada de la distribución de error general (GED). La distribución GED, también denominada como power exponential distribution en la bibliografía,4 ha sido usada extensamente en aplicaciones univariadas de series de tiempo financieras y ha demostrado gran flexibilidad en el proceso de estimación. En nuestro trabajo partimos del supuesto de normalidad y permitimos al investigador estimar de manera directa la distribución final. Efectivamente, otra ventaja de la nueva cópula GED es que, además de la distribución normal, pueden replicarse un rango de distribuciones anidadas tan sólo restringiendo sus parámetros.

La principal contribución de nuestro trabajo es la proposición de la nueva cópula bivariada GED. Para probar la bondad de ajuste y su desempeño estadístico, en relación con otras distribuciones, examinamos el riesgo de contagio financiero en América Latina durante la crisis financiera de 2008-2009 en diferentes mercados: de deuda soberana, acciones, bonos y tipos de cambio. Asimismo, examinamos el riesgo de contagio entre los Estados Unidos y México antes y durante la crisis de 2008.

Estos casos de estudio son muy relevantes debido a que constituyen una muestra de los países emergentes más afectados durante la reciente crisis; el riesgo de contagio se extendió rápidamente a través de los distintos canales financieros entre los países de América Latina y en particular desde los Estados Unidos. El enfoque de cópulas permite precisamente examinar la influencia de las crisis sobre los mercados financieros de estos países desde un ángulo específico de asociación no lineal, y a su vez capta fenómenos como el ancho de las colas y la persistencia de los riesgos, características documentadas ampliamente en la bibliografía. En general, encontramos que para el análisis de contagio de las crisis la nueva cópula GED no sólo provee un mejor ajuste sino una mejor caracterización de la transmisión de la volatilidad, la persistencia y las colas pesadas de estos fenómenos financieros.

La siguiente sección presenta la teoría básica de las cópulas y los elementos que dan soporte a nuestra propuesta de la cópula GED. La sección II introduce la nueva cópula, en la sección III se estima la cópula y se prueba su bondad de ajuste con aplicaciones a diferentes mercados financieros en América Latina, y, por último, se presenta las conclusiones.

I. Cópulas

Los métodos comunes para medir la asociación entre variables aleatorias hacen suposiciones fuertes sobre las variables y sobre la naturaleza de la asociación, como la linealidad y la normalidad de la distribución conjunta, pero también de las distribuciones individuales. Se ha documentado ampliamente que muchas variables, incluidas las financieras, no se distribuyen normalmente y que éstas muestran en realidad colas anchas y una mayor persistencia (véanse Hogg y Klugman, 1984, y Longin y Solnik, 2001).

Otros problemas relacionados con las medidas comunes de asociación lineal tienen que ver con la invarianza a transformaciones no lineales, que implica que bajo ciertas transformaciones la medida lineal de correlación cambiará y que las violaciones al supuesto de normalidad tienden a sobreestimar los resultados; esto puede suceder, por ejemplo, cuando la distribución real tiene colas más anchas.

Estos problemas se evitan con el uso de cópulas, pues estas funciones son invariantes a trasformaciones crecientes, lineales o no lineales, y debido a que la estructura de la dependencia está separada de las distribuciones marginales (véase Nelsen, 1999). Estas funciones se originaron en la década de los años cincuenta, pero ganaron popularidad en la economía y las finanzas en las últimas décadas.5

Una cópula es una función de probabilidad conjunta que une una distribución multivariada a distribuciones marginales univariadas, que se comportan uniformemente en el intervalo [0,1](Nelsen, 1999, p. 1). Las cópulas pueden ser multivariadas, aunque en este trabajo nos concentramos en el tipo bivariado para facilitar el análisis.

Una cópula es una función C : I 2 I , en la que I =[0,1],6 con las siguientes propiedades:

Y para cada u 1,u 2, ν 1, ν 2 en I donde u 1u 2 y ν 1ν 2,

Un principio importante en la teoría de cópulas es el teorema de Sklar. Este teorema se constituye como el fundamento de las medidas de dependencia y asociación entre variables, puesto que describe la manera en que se relaciona la distribución multivariada con las marginales univariadas. El teorema de Sklar indica que si H es una función de distribución conjunta y F y G son sus distribuciones marginales, entonces existe una función cópula tal que:

Si F y G son continuas, C es única; de otra forma C es única en RanF x RanG. Las distribuciones marginales univariadas tienen la siguiente forma:

en las que b 1 es el mayor elemento de S 1 y b 2 es el mayor elemento de S 2. H es una función de distribución conjunta de R2 a I, por lo que F y G son funciones de distribución de R a I.

Si F y G son funciones continuas, del teorema de Sklar se deduce la siguiente fórmula, útil para construir cópulas a partir de funciones de distribución bivariadas:

en la que 1 y G-1 son las funciones inversas de F y G respectivamente.

Las cópulas son invariantes a transformaciones estrictamente crecientes de sus marginales. También, si a es una transformación estrictamente creciente y β es una transformación estrictamente decreciente, entonces:

De manera similar, si α es una transformación estrictamente decreciente y β es una transformación estrictamente creciente, entonces:

Si α y β son estrictamente decrecientes, entonces:

Las pruebas para (8), (9) y (10) se pueden encontrar en Nelsen (1999, p.22).

Existen muchas clases de cópulas, entre las más populares están las arquimideanas y las elípticas. A continuación describimos brevemente ambas clases debido a que serán éstas las alternativas con las que competirá la propuesta de cópula GED en este artículo.

1. Cópulas arquimideanas

La popularidad de las cópulas arquimideanas ha crecido debido a que son fáciles de generar y manipular. Esta clase de funciones se caracteriza porque son creadas a partir de una función generadora. El generador φ es una función estrictamente decreciente de I а [0, ∞] y φ(1) = 0, con la cópula arquimideana, definida como:

en la que φ-1 es la inversa de φ.

Las dos cópulas arquimideanas más usadas son la cópula Gumbel y la Clayton. La cópula Gumbel y su generador se definen como:

La cópula Clayton y su generador se definen a continuación:

Estas cópulas han sido aplicadas en la bibliografía por Fantazzini (2004) para investigar la estructura de la dependencia de acciones usando la Tau de Kendall, y por Shemyakin et al. (2006) para modelar distribuciones conjuntas de supervivencia.

2. Cópulas elípticas

La cópula gaussiana y la cópula t de Student son las cópulas elípticas más conocidas. Una cópula elíptica es simplemente una función cuyas variables tienen una distribución elíptica. La cópula gaussiana está dada por:

en la que Φ-1 es la inversa de la distribución normal y ρ es la correlación entre las dos variables t y s.

La cópula t de Student se define como:

donde t-1 es la inversa de la distribución univariada t de Student y v es el parámetro que describe la forma de la distribución o grados de libertad. La cópula t de Student es útil porque a través del parámetro v se capta un fenómeno regular de las series de tiempo financieras: el ancho de las colas. Las colas pesadas se han documentado en varios artículos, entre ellos los de Bradley y Taqqu (2002), у Нуung y de Vries (2007).

Las gráficas de contorno son herramientas útiles para obtener más información sobre la forma y propiedades de las cópulas. Las gráficas de contorno de las cópulas normal, Clayton, Gumbel y t de Student con marginales gaussianas se presentan a continuación:

Contorno de varias cópulas

Se pueden inferir algunas características importantes de estas gráficas. Por ejemplo, la cópula Clayton muestra contornos más agudos en el cuadrante negativo, indicando que eventos negativos ocurren simultáneamente, es decir, las caídas en el mercado accionario de los Estados Unidos ocasionarían caídas en el mercado accionario mexicano. La cópula Gumbel capta el efecto contrario; es decir, los eventos positivos tienen una mayor probabilidad de ocurrir conjuntamente: e.g., una recuperación en el mercado accionario de los Estados Unidos estaría asociada con una recuperación en el mercado accionario mexicano. La cópula normal muestra una asociación simétrica entre las variables, la probabilidad de ocurrencia de una apreciación y una depreciación conjuntas es la misma. Para la cópula t de Student también se observa la misma probabilidad para apreciaciones y depreciaciones conjuntas, y una menor probabilidad para apreciaciones de una variable y depreciaciones de la otra.

II. La cópula GED

Algunas de las características más prominentes de las variables financieras son la volatilidad, la aglomeración, la persistencia, la asimetría y las colas pesadas en la distribución. Para replicar y modelar el ancho de las colas, algunas aplicaciones han adoptado distribuciones condicionales diferentes a la gaussiana en estimaciones univariadas y multivariadas. Varios estudios sobre el modelaje de datos financieros y de colas pesadas han encontrado que, entre las diferentes distribuciones alternativas, la distribución de error general (GED) domina a otras distribuciones (como la normal, la t de Student o versiones sesgadas de estas distribuciones); véase Bouaddi y Rombouts (2007) para un ejemplo.

Pero aun cuando la distribución GED ha sido usada con frecuencia en la bibliografía financiera para investigar el comportamiento de activos riesgosos, tipos de cambio, etc. -véanse los trabajos de Nelson (1991), Liesenfeld y Jung (2000) y Komunjer (2007)-, existen pocas referencias que describan el comportamiento estadístico de la distribución GED. Entre los pocos autores que han estudiado esta función encontramos a Chiodi (2000), quien examina las propiedades estadísticas y ofrece pruebas multivariadas de la distribución GED, mientras que Taguchi (1978) explora a detalle las propiedades de la distribución GED bivariada; sin embargo, no pudimos encontrar en la bibliografía referencia alguna a la cópula GED, por lo que esperamos contribuir ofreciendo una nueva cópula, capaz de captar colas pesadas y de replicar las características de funciones de distribución ya conocidas.

1. Derivación de la cópula GED

La cópula GED, que se presenta en esta sección, tiene la capacidad de replicar colas pesadas, así como colas delgadas; su forma puede variar de una campana, idéntica a la distribución normal, a una campana que se asemeja a la distribución uniforme. La nueva copula GED propuesta en este trabajo es altamente flexible y está basada en la distribución de error general descrita por Lindsey (2001, p. 212), quien presenta la siguiente función de densidad:

donde a es el parámetro de escala y b es el parámetro de forma o curtosis. Estos dos parámetros captan y describen la estructura de la distribución. Г( ) es la función gamma у x es una variable aleatoria. A diferencia de la distribución gaussiana, ésta es una función general para la distribución de errores que no está limitada a una sola distribución particular y que más bien puede replicar muchas otras distribuciones.

Cuando el parámetro b se encuentra entre (0,1) obtenemos distribuciones leptocúrticas y cuando b es mayor a 1 obtenemos distribuciones platocúrticas. En la Gráfica 2 aparecen densidades y contornos de la distribución GED para diferentes valores ayb en los que se muestra la flexibilidad de la distribución.

Densidades y contornos de la distribución GED para diferentes valores de a y b

Para los valores a=1 y b=1 la distribución GED es igual a la distri bución normal. Cuando a=10 γ b=3, la distribución GED se aproxima a la distribución uniforme y, cuando a=0.5 γ b=0.1, la distribución GED se aproxima a la distribución Laplace. Como se puede observar, la distribu ción GED incluye a un gran rango de distribuciones con diferentes formas de campana y ancho de colas.

La función univariada de Lindsey fue extendida por Balakrishnan (2009) para considerar el caso de dos variables. Enseguida presentamos la función de densidad de probabilidad bivariada GED:7

en la que π es el número π, Г es la función y, a es el parámetro de escala, b es el parámetro de forma (curtosis), x y y son variables aleatorias y ρ es la correlación entre x y y. La función de distribución GED bivariada queda definida por:

Para derivar la copula GED con base en esta propuesta de distribución (17b) aplicamos el teorema de Sklar (7) de la siguiente forma:

Para la implementación final necesitamos las funciones marginales, las cuales se definen respectivamente como:

y

dado que H es simétrica, i.e., h(x) = h(γ).

Sustituyendo (18) y (19) en el teorema de Sklar obtenemos la cópula GED:

en la que H-1(u) y H-1(ν) son las funciones inversas de las marginales univariadas, que pueden encontrarse a partir de (18) y (19), respectivamente.

1. Optimización

Para estimar los parámetros α=[a, b, ρ] de la cópula GED empleamos la siguiente función de densidad:

cuya función de verosimilitud L ( x i , γ i ; α ) es:

tomando logaritmos de L, reexpresamos (22) como:

en la que c(utt) es la densidad de la cópula GED, ut = F(xt;a), vt = F(γt; α), h(xt) es la función de densidad GED marginal de xt y h(γt) la función de densidad GED marginal de γt .

También calculamos los criterios de Akaike y Bayes con las siguientes funciones:

en las que k es el número de parámetros estimados y T es el número de observaciones en la muestra.

Otra prueba estadística de utilidad es la razón de verosimilitud (LR), dada por:

en la que L0 representa la función verosimilitud optimizada (hipótesis nula) del modelo no restringido, L1 es la verosimilitud optimizada del modelo restringido (hipótesis alternativa) y LR es la prueba estadística distribuida соmо x n 2 , con n grados de libertad, igual número de restricciones (Hamilton 1991, pp. 144-145).

L0 se define como la verosimilitud de la cópula GED. Esta nueva cópula, como hemos visto, anida dentro de sí una familia de cópulas: e.g., cuando b=0.5 se obtiene la cópula Laplace con colas anchas y cuando b=1, se obtiene la cópula normal

III. Resultados de la estimación

En esta sección usamos los retornos logarítmicos de los precios diarios de diferentes activos: tipos de cambio, tasas de interés, acciones y mercados de deuda soberana. El objetivo es estimar la cópula GED propuesta en este trabajo y comparar su desempeño estadístico con otras cópulas populares, usadas frecuentemente en la bibliografía, como las arquimideanas (Clayton y Gumbel) y las elípticas (normal y t de Student).

1. Datos

Comenzamos investigando el riesgo de contagio de la prima al riesgo de la deuda soberana en cuatro países latinoamericanos: Argentina, Brasil, Méxiсо y Venezuela, obtuvimos datos diarios del Emerging Bond Market Index (EMBI+por sus siglas en inglés) de JP Morgan para los países mencionados del periodo 17/04/2008-25/04/2009. Enseguida, para examinar el contagio financiero obtuvimos datos del periodo 03/01/2005-01/06/2009 de los siguientes activos: tipos de cambio (peso mexicano vs. dólar americano, i.e, USD/MXN y dólar americano vs. euro, i.e., EU/EURO), tasas de interés (mercados de bonos Mexicano y de los Estados Unidos), y acciones (S&P500 e índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores). Para investigar si las medidas de asociación y dependencia cambian antes y después de la crisis financiera dividimos la muestra general en dos subperiodos: precrisis y crisis.

En el Cuadro 1 presentamos la estadística descriptiva de los retornos diarios de todas las muestras consideradas en este estudio. Se observa que los retornos EMBI+son mayores en todos los casos y tienen en general una mayor variabilidad que las acciones o los tipos de cambio. Cabe mencionar que las tasas de interés de los Estados Unidos muestran los menores retornos logarítmicos a la inversión y el mayor riesgo de reinversión para el periodo considerado. Al mismo tiempo, excepto por los retornos del EMBI+ de México, todos los retornos logarítmicos muestran exceso de curtosis, algún grado de sesgo y en general desviaciones de la normalidad, como lo indican las pruebas en las últimas tres columnas del cuadro.

Estadística descriptiva por niveles y retornos logarítmicos

a Prueba de normalidad Shapiro Willks. b Prueba de normalidad.

Estas desviaciones respecto a la distribución normal, las colas anchas y el comportamiento no lineal de los retornos de los activos son características que sugieren fuertemente considerar distribuciones condicionales y no condicionales alternativas a la normal La distribución t de Student, por ejemplo, ha sido usada por Bollerslev (1987) y Hsieh (1989) para el examen de los rendimientos logarítmicos, mientras que la distribución GED ha sido usada por Baillie y Bollerslev (1989) y Nelson (1991).

La bibliografía que investiga bonos soberanos, tipos de cambio, acciones y tasas de interés se realiza en su mayoría en países desarrollados, pero algunos estudios se han llevado a cabo para investigar el contagio en mercados emergentes usando cópulas, principalmente en mercados accionarios (véanse Ozun y Ozbakis, 2007; Mendes et al., 2007, y Rodríguez, 2007, para algunos ejemplos). En este sentido, nuestro trabajo también contribuye a la bibliografía de la crisis financiera y del contagio en mercados emergentes.

2. Estimación

El primer paso en la estimación de nuestra cópula GED es obtener las distribuciones marginales u y v. Éstas se encuentran, en primer término, mediante el cálculo de los retornos logarítmicos de los activos financieros:

en la que rt es el retorno logarítmico, Pt es el precio del activo en el periodo t y ln es el logaritmo natural En segundo término, de acuerdo con aplicaciones recientes de cópulas y mercados financieros, empleamos los residuos de modelos univariados GARCH como las distribuciones marginales (véanse Triveddi y Zimmer, 2005; Patton, 2006, y Rodríguez, 2007, por ejemplo). En este trabajo ajustamos el modelo GARCH ( 1,1) de Bollerslev (1986), que se ha convertido en uno de los modelos de volatilidad condicional empiricos más útiles en el modelaje de series de tiempo financieras. Las funciones marginales estimadas están distribuidas normalmente con media μ y varianza σ2, esto es u=Z(εx ) у ν=Z(εγ ), donde εγ y εγ son residuos de modelos GARCH (1,1). Partimos del supuesto de que Z(εx )~N(μ,σ) y Z(εγ )~N(μ,σ).

3. Riesgo de contagio en mercados de bonos soberanos

En el Cuadro 2 presentamos los parámetros estimados para todas las сóрulas, incluida la GED, y para todos los pares de países considerados. Con el fin de comparar el ajuste y otras medidas de desempeño estadístico, usamos las mismas funciones marginales8 y reportamos errores estándar robustos en paréntesis, los criterios de decisión de Akaike y de Schwartz, así como la función de verosimilitud optimizada, respectivamente.

Resultados de la estimación y pruebas de razones de verosimilitud

a Valor optimizado de verosimilitud. b Criterio de información de Bayes. d Estadístico t.

El Cuadro 2 muestra que de entre todas las cópulas arquimideanas y elípticas consideradas en este estudio, la cópula GED provee los menores valores para los criterios de Akaike y Schwarz. La competidora más cercana es la cópula normal, seguida de cerca por la cópula t de Student, pero incluso en este último caso que modela explícitamente la posibilidad de colas anchas, la cópula GED describe mejor a los datos y provee un ajuste más satisfactorio que estas dos populares alternativas.

La verosimilitud optimizada es mayor para la cópula GED, lo que refuerza nuestra conclusión en favor de nuestra propuesta elíptica. Adicionalmente examinamos nuestros resultados restringiendo los parámetros de la cópula GED para obtener las cópulas Laplace y normal y mostrar las pruebas de relación de verosimilitud (parte baja de la Cuadro 2). De nuevo encontramos fuerte evidencia en favor de la cópula GED.

En la Gráfica 3 mostramos los contornos de la cópula GED para los mercados de deuda soberanos de Argentina-Brasil, Argentina-México y Brasil-México. La forma de campana en los dos primeros casos indica que las desviaciones de la media no son grandes, lo que indica retornos pequeños que crecen y decrecen conjuntamente. En el caso de Brasil-México (Figura c) encontramos colas más anchas, lo que sugiere que los retornos crecen y decrecen conjuntamente en mayores proporciones. En otras palabras, el riesgo de contagio en los mercados de deuda soberana es mayor entre México y Brasil que entre cualquier otro par de países considerado en este estudio.

Contorno de las cópulas GED para el mercado de bonos soberanos

4. Contagio en los tipos de cambio, bonos y mercados de capital

Ahora nos concentramos en la medición del riesgo de contagio entre los Estados Unidos y México al examinar los tipos de cambio (dólar americano vs. peso, USD/MXN y dólar vs. euro, USD /EURO); el fondeo gubernamental y los mercados de capitales. En este caso la muestra total abarca del 03/01/2005 al 01/06/2009 y nos interesa examinar en particular cómo cambió la asociación de los mercados financieros antes y después de la crisis. El momento de contagio en los mercados es distinto y definimos heurísticamente la fecha de corte como sigue: para los mercados de bonos el 19/09/2007 (cuando las tasas de interés de los Estados Unidos comenzaron a caer), para los tipos de cambio el 27/08/2008 (cuando la depreciación del peso fue evidente) y para los mercados accionarios el 06/06/2008.

En el Cuadro 3 se presentan resultados obtenidos estimando la cópula GED para estos mercados en los tres periodos. Para verificar si los parámetros del contagio en cada cópula son distintos antes y durante la crisis usamos la prueba de Wald. La hipótesis nula de que ρ y b son iguales en ambos subperiodos se rechazó a un nivel de 5%. Observamos que la interrelación de los países medida por p es más intensa durante la crisis para los tres mercados. En los mercados cambiario y accionario, las depreciaciones (y apreciaciones) conjuntas resultaron más frecuentes durante la crisis que antes de la crisis respectivamente, y en el mercado de bonos las tasas de interés bajas en un mercado y tasas altas en el otro son más frecuentes durante la crisis.

Estimación de resultados de la cópula GED antes y durante la crisis

*Significativo a 5%. a Coeficiente de correlación. b Error estándar en paréntesis. c Parámetro de ancho de cola. d Verosimilitud optimizada. e Criterio de información Aikaike. f Criterio de información Bayes. g Prueba Wald para la igualda de los parámetros entre los periodos pre crisis y crisis.

El coeficiente de curtosis b, que mide la forma de la distribución, es mayor durante la crisis en los mercados cambiarios y de capitales; lo que indica que efectivamente durante la crisis las colas de las distribuciones son más pesadas (mayor probabilidad de valores extremos) que en relación con el periodo estable. Cabe notar que en el mercado de bonos se observa un menor parámetro b durante la crisis, lo que indica una menor probabilidad de valores extremos durante la crisis. Ésta es una observación consistente con los eventos ocurridos en los mercados que reflejan algunas características particulares de esta crisis: mientras que las acciones y los tipos de cambio mostraron una alta volatilidad durante la crisis, los mercados de bonos permanecieron muy estables y, de hecho, la liquidez se trasladó de mercados riesgosos a mercados tradicionalmente menos riesgosos (créditos y reinversiones).

Conclusiones

Las cópulas son funciones que unen dos funciones marginales, y tienen la capacidad de describir comportamientos no lineales, asimetría y no normalidad. En este trabajo presentamos una nueva cópula bivariada basada en una distribución comúnmente usada en las finanzas empíricas: la distribución GED. A pesar del uso extendido de dicha distribución, hasta ahora no se había propuesto en la bibliografía una cópula con distribución de error generalizado. Usando cuatro mercados (bonos soberanos, tipos de cambio, acciones y mercado de bonos) comparamos nuestra nueva cópula GED con las cópulas elípticas y arquimideanas más usadas. La principal ventaja de esta nueva cópula reside en su capacidad de replicar el comportamiento de varias distribuciones, desde la exponencial y la normal a la uniforme, con el atributo adicional de captar las colas pesadas comúnmente detectadas en activos financieros. Todos los criterios estándar de decisión muestran evidencia fuerte a favor de la cópula GED sobre sus más cercanas competidoras: la distribución normal, la t de Student y las principales cópulas arquimideanas, usadas frecuentemente en la bibliografía financiera.

Debido a la magnitud de la crisis de 2008-2009 y el contagio a países emergentes, en este artículo examinamos en particular el contagio en una muestra de países emergentes para varios mercados: riesgo soberano de deuda, mercados accionarios, tipos de cambio y mercado de bonos. El uso de la nueva cópula GED propuesta en este artículo permite no sólo modelar la asociación no lineal entre los mercados, sino además captar de manera natural el fenómeno de las colas pesadas, reportado muy frecuentemente para activos financieros. Entre los resultados encontramos que en los mercados de deuda soberana de Argentina-Brasil y Argentina-México, los rendimientos se mueven de manera conjunta, i.e., riesgos soberanos bajos en un país, se acompañan normalmente de riesgos bajos en el otro. En el caso del riesgo soberano de Brasil y México se detectan colas pesadas, lo que sugiere que los retornos soberanos crecen y decrecen conjuntamente en proporciones mucho mayores a las normales. Es decir, el riesgo de contagio en los mercados de deuda soberana es mayor entre México y Brasil que entre cualquier otro par de los países considerados.

Por otra parte, también encontramos una asociación mucho más fuerte entre los mercados cambiarios de deuda y de capitales de los Estados Unidos y México durante la crisis, en relación con periodos más estables. En particular, en el mercado cambiario existe evidencia de que las colas de la distribución que describe la asociación entre estos dos países son más pesadas.

Extensiones potenciales de la cópula GED en el futuro pueden incluir parámetros de cola con inercia, efectos de asimetría (leverage effects) e incluso memoria larga. También puede extenderse esta cópula al caso multivariado y permitir que la correlación entre las marginales cambie con el tiempo, con el fin de dotar a la cópula de mayor realismo. Una posibilidad son los modelos de correlación condicional dinámica (DCC) inciados por Engle (2002). Algunas propuestas recientes en este sentido son las de Lorán, Heinen y Valdesogo (2009) y las cópulas estocásticas autorregresivas (SCAR) de Hafner y Manner (2010).9

Notas al pie:
  • *

    A. Mendoza Velázquez agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) el apoyo recibido del fondo para jóvenes investigadores.

  • 1

    Véase Cherubini et al. (2004) para aplicaciones de cópulas en matemáticas financieras y productos financieros derivados.

  • 6

    Esto significa que la función C tiene dos variables, cuyos valores y resultado se encuentran en el intervalo [0,1]. Para más detalles sobre la notación, véase Simon y Blume (1994).

  • 8

    No reportamos las estimaciones GARCH(1,1) de Bollerslev (1986) para ahorrar espacio, pero los resultados están disponibles con los autores.

  • 9

    Los autores agradecen los comentarios de un dictaminador anónimo que hizo notar estas posibilidades.

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Historial:
  • » Recibido: 01/07/2013
  • » Aceptado: 03/10/2013
  • » Publición impresa: 2014Jul-Sep

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Revista El Trimestre Económico, volumen LXXXVII (1), número 345, enero-marzo de 2020. Es una publicación trimestral que aparece en enero, abril, julio y octubre, editada por el Fondo de Cultura Económica, con domicilio en  Carretera Picacho Ajusco número 227, Col. Bosques del Pedregal, Delegación Tlalpan, C.P.  14738, Ciudad de México, teléfono (55) 5227 4672, ext. 1850, http://www.eltrimestreeconomico.com.mx/. Reserva de derechos al uso exclusivo  Número 04-2016-052612421000-203, ISSN 2448-718X. Ambos otorgados por el Instituto del Derecho de Autor. Consejo Directivo de El Trimestre Económico: Orlando Delgado Selley, Saúl Escobar Toledo y José Valenzuela Feijóo. Responsable de la última actualización de este número: Nuria Pliego Vinageras. Fecha de la última actualización: 2 de enero de 2020. La responsabilidad por lo expresado en los artículos, notas y reseñas es  estrictamente de sus autores; en consecuencia El Trimestre Económico, el Fondo de Cultura Económica y las instituciones a las que estén asociados los autores son ajenos a ella. Todos los derechos reservados. Se autoriza la reproducción total o parcial de los artículos  aquí presentados, siempre y cuando no se mutile y se incluya en todos los casos, junto con la ficha completa, el nombre del autor al que se cite y la  dirección electrónica de la revista; de otra forma, requerirá la autorización por escrito de El Trimestre Económico.